Nos problemas de 1 a 8 , classifique a equação como homogênea, Bernoulli, com coeficientes lineares, ou da forma y^prime=G(a x+b y). Em seguida, resolva-as.
d y / d x+y / x=x^3 y^2

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem não linear
dydx + yx = x^3 y^2
e o enunciado pede para classificar e resolver. Vamos identificar do que se trata (Bernoulli, homogênea, etc.) e depois aplicar o método correto.

Passo 2

Uma equação de Bernoulli tem a forma
dydx + P(x)y = Q(x)y^n
Comparando com o nosso caso vemos que
P(x)=1x, Q(x)=x^3, n=2
Logo, é uma equação de Bernoulli.

Passo 3

No método de Bernoulli fazemos a substituição
u = y^1-n = y^-1
Para usar essa troca precisamos de du/dx. Como
u = y^-1,
temos
dudx = -y^-2dydx

Passo 4

Da equação original isolamos dy/dx:
dydx = -yx + x^3y^2
Multiplicando por -y^-2 temos
-y^-2dydx = ux - x^3,
e como :
-y^-2dy/dx) = du/dx, obtemos a equação linear em (u

Passo 5

Para resolver essa equação linear, calculamos o fator integrante
mu(x) = e^integral -1xdx = x^-1
Multiplicamos a equação por mu(x):
ddx(x^-1u) = -x^2
Integrando ambos os lados:
x^-1u = -x^33 + C
Logo
u = u = -x^43 + Cx

Passo 6

Voltando à variável original com u = y^-1, temos
1y = Cx - x^43
e finalmente
y = 1Cx - x^43

Resposta

y = \frac{1}{Cx - \frac{x^4}{3}}

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