Nos problemas de 1 a 8 , classifique a equação como homogênea, Bernoulli, com coeficientes lineares, ou da forma
. Em seguida, resolva-as.
Passo 1
O enunciado dá a diferencial (t + x + 2),dx + (3t – x – 6),dt = 0. Isso é uma EDO de primeira ordem em t(x) com M(x,t) e N(x,t) lineares em x e t, portanto é uma equação “com coeficientes lineares”.
Passo 2
Para resolver, fazemos uma translação de variáveis para eliminar as constantes. Definimos X = x + 3 e Y = t – 1. Note que então X + Y = x + t + 2 e 3Y – X = 3t – x – 6, e dt/dx = dY/dX.
Passo 3
A equação em (X,Y) fica (X + Y),dX + (3Y – X),dX,dY/dX??. Na forma dy/dx obtemos
Passo 4
Essa EDO agora é homogênea (não há constantes). Usamos a substituição v = Y/X, isto é Y = vX, então
dY/dX = v + X,dv/dX.
dY/dX = v + X,dv/dX.
Passo 5
Substituindo na EDO:
Isolando X,dv/dX resulta
Passo 6
Separamos variáveis:
Integramos ambos os lados: à esquerda usamos a decomposição
e à direita
Passo 7
Voltando a v=Y/X e X=x+3, Y=t-1, obtemos implicitamente
Combinando os logaritmos, chega-se a
Resposta
Equação com coeficientes lineares. A solução geral implícita é