Nos problemas de 1 a 8 , classifique a equação como homogênea, Bernoulli, com coeficientes lineares, ou da forma y^prime=G(a x+b y). Em seguida, resolva-as.
(t+x+2) d x+(3 t-x-6) d t=0

Passo 1

O enunciado dá a diferencial (t + x + 2),dx + (3t – x – 6),dt = 0. Isso é uma EDO de primeira ordem em t(x) com M(x,t) e N(x,t) lineares em x e t, portanto é uma equação “com coeficientes lineares”.

Passo 2

Para resolver, fazemos uma translação de variáveis para eliminar as constantes. Definimos X = x + 3 e Y = t – 1. Note que então X + Y = x + t + 2 e 3Y – X = 3t – x – 6, e dt/dx = dY/dX.

Passo 3

A equação em (X,Y) fica (X + Y),dX + (3Y – X),dX,dY/dX??. Na forma dy/dx obtemos
dYdX = -X + Y3Y - X

Passo 4

Essa EDO agora é homogênea (não há constantes). Usamos a substituição v = Y/X, isto é Y = vX, então
dY/dX = v + X,dv/dX.

Passo 5

Substituindo na EDO:
v + XdvdX = -1 + v3v - 1
Isolando X,dv/dX resulta
XdvdX = -1 + v3v - 1 - v = -3v^2 + 13v - 1

Passo 6

Separamos variáveis:
3v - 13v^2 + 1,dv = -dXX
Integramos ambos os lados: à esquerda usamos a decomposição
integral3v3v^2+1,dv - integral13v^2+1,dv = 12ln(3v^2+1) - 1raiz3arctan(raiz3,v),
e à direita
-integraldXX = -ln|X| + C

Passo 7

Voltando a v=Y/X e X=x+3, Y=t-1, obtemos implicitamente
tfrac12lnl(3l(tfract-1x+3r)^2 +1r) - 1raiz3arctan!l(raiz3,t-1x+3r) = -ln|x+3| + C
Combinando os logaritmos, chega-se a
lnl(3(t-1)^2 + (x+3)^2r) - 2raiz3arctan!l(raiz3,t-1x+3r) = C'

Resposta

Equação com coeficientes lineares. A solução geral implícita é
lnl(3(t-1)^2 + (x+3)^2r) - 2raiz3arctan!l(raiz3,t-1x+3r) = C

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