Nos problemas de 1 a 8 , classifique a equação como homogênea, Bernoulli, com coeficientes lineares, ou da forma y^prime=G(a x+b y). Em seguida, resolva-as.
theta d y-y d theta=raiztheta y d theta

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação theta,dy - y,dtheta = raiztheta,y,dtheta em homogênea, Bernoulli, com coeficientes lineares ou da forma y'=G(ax+by) e, depois, resolvê-la. O conteúdo é EDOs de primeira ordem e vamos usar o método de equações homogêneas com a substituição u=y/theta.

Passo 2

Vamos passar para a forma explícita de y'=dy/dtheta. Dividindo ambos os lados por dtheta e rearranjando, temos:
thetadydtheta-y=raiztheta,y
ou seja,
dydtheta=ytheta+raiztheta,ytheta=ytheta+raizytheta
Note que o lado direito depende só de y/theta, logo é uma equação homogênea.

Passo 3

Fazendo a substituição u=ytheta, então y=u,theta e
dydtheta=u+thetadudtheta
Substituindo em dy/dtheta=tfracytheta+raizy/theta dá:
u+thetadudtheta=u+raizu
Logo
thetadudtheta=raizu

Passo 4

Reescrevendo como separável, temos:
integral u^-1/2,du=integraldthetatheta
Integrando,
2raizu=ln|theta|+C

Passo 5

Voltando a y, escrevemos raizu=tfrac12ln|theta|+C1. Então
u=l(tfrac12ln|theta|+C1r)^2,
y=theta,u=thetal(tfrac12ln|theta|+C1r)^2

Resposta

y(\theta)=\theta\Bigl(\tfrac12\ln|\theta|+C\Bigr)^2

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