Nos problemas de 1 a 8 , classifique a equação como homogênea, Bernoulli, com coeficientes lineares, ou da forma y^prime=G(a x+b y). Em seguida, resolva-as.
(y e^-2 x+y^3) d x-e^-2 x d y=0

Passo 1

A equação dada é
(y e^-2x + y^3),dx - e^-2x,dy = 0
que podemos escrever como uma equação diferencial explícita dy/dx. O conteúdo é uma equação de Bernoulli e vamos usar a técnica de transformação para resolver.

Passo 2

Passamos para a forma padrão
dydx = y e^-2x + y^3e^-2x = y + e^2x,y^3
ou seja
dydx - y = e^2x,y^3
que é uma equação de Bernoulli com n=3, P(x)=-1 e Q(x)=e^2x.

Passo 3

Para tratar a Bernoulli definimos
z = y^1-n = y^-2
Então
dzdx = (1-n)y^-ndydx = -2,y^-3dydx
Isolando dy/dx da equação original e substituindo, obtemos uma equação linear em z.

Passo 4

A substituição leva a
dzdx + 2z = -2e^2x
O fator integrante é
mu(x) = e^integral 2,dx = e^2x
Multiplicando,
ddxl(z e^2xr) = -2e^4x
Integrando,
z e^2x = integral -2e^4xdx = -tfrac12 e^4x + C
Logo
z = Ce^-2x - tfrac12 e^2x

Passo 5

Voltando a y, como z=y^-2, temos a solução geral implícita
y^-2 = C e^-2x - tfrac12 e^2x

Resposta

y^{-2} = C e^{-2x} - \tfrac12 e^{2x}

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