Seja
um polinômio de grau
. Recordando que se
é uma raíz de
, então
, onde
é o quociente da divisão de
por
. Particularmente, temos
onde
e
são raízes da equação do segundo grau
. Nestas condições, faça o que se pede:
(a) fatore os polinômios abaixo.
(a) fatore os polinômios abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para fatorar o polinômio quadrático usando o Teorema do Resto (ou Teorema da Raiz): se α é raiz de P(x), então P(x) se escreve como (x−α)Q(x). Aqui o conteúdo é fatoração de polinômio de segundo grau, e vamos precisar achar suas raízes.
Passo 2
Primeiro identificamos os coeficientes: a=1, b=−3 e c=2. Em seguida calculamos o discriminante para encontrar as raízes.
Passo 3
Calculamos o discriminante:
[
\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot2 = 9 - 8 = 1
]
Logo as raízes são
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{2}
]
Isso dá as raízes x_1=2 e x_2=1.
[
\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot2 = 9 - 8 = 1
]
Logo as raízes são
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{2}
]
Isso dá as raízes x_1=2 e x_2=1.
Passo 4
Usando o Teorema da Raiz, escrevemos
[
x^2 - 3x + 2 = (x - x_1)(x - x_2)
]
Substituindo x_1 e x_2, obtemos a fatoração.
[
x^2 - 3x + 2 = (x - x_1)(x - x_2)
]
Substituindo x_1 e x_2, obtemos a fatoração.
Resposta
(x-1)(x-2)