Nos problemas
, decida se o método dos coeficientes indeterminados pode ou não ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a EDO linear de segunda ordem
2 y″(x) – 6 y′(x) + y(x) = (sen x)/e^{4x},
querendo saber se dá pra usar o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar reconhecer a forma do termo não homogêneo e checar ressonância com as raízes da parte homogênea.
2 y″(x) – 6 y′(x) + y(x) = (sen x)/e^{4x},
querendo saber se dá pra usar o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar reconhecer a forma do termo não homogêneo e checar ressonância com as raízes da parte homogênea.
Passo 2
O termo não homogêneo é
(sen x)/e^{4x},
que podemos reescrever como
(sen x)/e^{4x},
que podemos reescrever como
Pelo método dos coeficientes indeterminados sabemos que ele é aplicável quando o forçante é da forma polinômio·e^{ax}·\sin(bx) ou polinômio·e^{ax}·\cos(bx). Aqui temos exatamente e^{ax}·\sin(bx) com a=–4 e b=1.
Passo 3
Precisamos verificar se há ressonância, ou seja, se as raízes da equação característica da parte homogênea coincidem com a=–4±i·1. A equação característica é
cuja solução é
que são números reais diferentes de –4±i. Logo não há ressonância.
Passo 4
Como não há ressonância e o forçante é do tipo permitido, podemos usar a forma de tentativa
e determinar A e B. Portanto o método dos coeficientes indeterminados é aplicável.
Resposta
O método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado.