Nos problemas 1-8, decida se o método dos coeficientes indeterminados pode ou não ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.
2 y^prime prime(x)-6 y^prime(x)+y(x)=(sen x) / e^4 x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a EDO linear de segunda ordem
2 y″(x) – 6 y′(x) + y(x) = (sen x)/e^{4x},
querendo saber se dá pra usar o método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar reconhecer a forma do termo não homogêneo e checar ressonância com as raízes da parte homogênea.

Passo 2

O termo não homogêneo é
(sen x)/e^{4x},
que podemos reescrever como
e^-4xsin x
Pelo método dos coeficientes indeterminados sabemos que ele é aplicável quando o forçante é da forma polinômio·e^{ax}·\sin(bx) ou polinômio·e^{ax}·\cos(bx). Aqui temos exatamente e^{ax}·\sin(bx) com a=–4 e b=1.

Passo 3

Precisamos verificar se há ressonância, ou seja, se as raízes da equação característica da parte homogênea coincidem com a=–4±i·1. A equação característica é
2r^2 - 6r + 1 = 0,
cuja solução é
r = 6 pm raiz36 - 84 = 6 pm 2raiz74 = 3 pm raiz72,
que são números reais diferentes de –4±i. Logo não há ressonância.

Passo 4

Como não há ressonância e o forçante é do tipo permitido, podemos usar a forma de tentativa
yp(x) = e^-4x(Asin x + Bcos x)
e determinar A e B. Portanto o método dos coeficientes indeterminados é aplicável.

Resposta

O método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado.

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