Nos problemas 1-8, decida se o método dos coeficientes indeterminados pode ou não ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.
x^prime prime(t)-2 x^prime(t)+x(t)=24 t^2 e^t

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema que temos aqui. A equação diferencial que precisamos analisar é:
x''(t) - 2x'(t) + x(t) = 24 t^2 e^t
O conteúdo principal que vamos utilizar para resolver este problema é o método dos coeficientes indeterminados. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução particular para equações diferenciais lineares não homogêneas. Para decidir se podemos aplicar esse método aqui, precisamos entender o tipo de função que está do lado direito da equação e verificar algumas condições específicas.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é usado para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial não homogênea quando o termo não homogêneo (neste caso, 24 t^2 e^t) é de uma forma específica, como polinômios, exponenciais, senos ou cossenos, ou combinações desses.
A ideia é supor uma forma para a solução particular com coeficientes desconhecidos e então determinar esses coeficientes substituindo na equação original.

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo não homogêneo da nossa equação: 24 t^2 e^t. Esse termo é um produto de um polinômio de grau 2 ( t^2) e uma função exponencial ( e^t). O método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado a esse tipo de termo, desde que algumas condições sejam atendidas.

Passo 4

Antes de aplicar o método, precisamos verificar se a função do termo não homogêneo é solução da equação homogênea associada. A equação homogênea é:
x''(t) - 2x'(t) + x(t) = 0
Vamos encontrar as raízes da equação característica:
r^2 - 2r + 1 = 0
Resolvendo essa equação:
(r - 1)^2 = 0 implies r = 1
Temos uma raiz dupla r = 1. Isso significa que as soluções da equação homogênea são:
xh(t) = (C1 + C2 t) e^t

Passo 5

Agora, observamos que o termo não homogêneo 24 t^2 e^t tem a mesma parte exponencial e^t que aparece na solução homogênea. Quando isso acontece, precisamos multiplicar nossa suposição inicial por t até que não haja mais sobreposição com a solução homogênea.

Passo 6

Começamos supondo uma solução particular da forma:
xp(t) = t^k(At^2 + Bt + C) e^t
Onde k é o menor número inteiro que elimina a sobreposição com a solução homogênea. Como já temos uma raiz dupla em e^t na solução homogênea, multiplicamos por t^2, então k = 2.
Portanto, nossa suposição será:
xp(t) = t^2(At^2 + Bt + C) e^t

Resposta

Sim, o método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.

Exercícios relacionados