Nos problemas
, decida se o método dos coeficientes indeterminados pode ou não ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema que temos aqui. A equação diferencial que precisamos analisar é:
O conteúdo principal que vamos utilizar para resolver este problema é o método dos coeficientes indeterminados. Esse método nos ajuda a encontrar uma solução particular para equações diferenciais lineares não homogêneas. Para decidir se podemos aplicar esse método aqui, precisamos entender o tipo de função que está do lado direito da equação e verificar algumas condições específicas.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar rapidamente o que é o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é usado para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial não homogênea quando o termo não homogêneo (neste caso,
) é de uma forma específica, como polinômios, exponenciais, senos ou cossenos, ou combinações desses.
A ideia é supor uma forma para a solução particular com coeficientes desconhecidos e então determinar esses coeficientes substituindo na equação original.
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo não homogêneo da nossa equação:
. Esse termo é um produto de um polinômio de grau 2 (
) e uma função exponencial (
). O método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado a esse tipo de termo, desde que algumas condições sejam atendidas.
Passo 4
Antes de aplicar o método, precisamos verificar se a função do termo não homogêneo é solução da equação homogênea associada. A equação homogênea é:
Vamos encontrar as raízes da equação característica:
Resolvendo essa equação:
Temos uma raiz dupla
. Isso significa que as soluções da equação homogênea são:
Passo 5
Agora, observamos que o termo não homogêneo
tem a mesma parte exponencial
que aparece na solução homogênea. Quando isso acontece, precisamos multiplicar nossa suposição inicial por
até que não haja mais sobreposição com a solução homogênea.
Passo 6
Começamos supondo uma solução particular da forma:
Onde
é o menor número inteiro que elimina a sobreposição com a solução homogênea. Como já temos uma raiz dupla em
na solução homogênea, multiplicamos por
, então
.
Portanto, nossa suposição será:
Resposta
Sim, o método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.