Nos problemas
, decida se o método dos coeficientes indeterminados pode ou não ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O assunto aqui é métodos para resolver equações diferenciais lineares, mais especificamente o método dos coeficientes indeterminados. Nosso objetivo é decidir se esse método dá pra ser usado para encontrar uma solução particular dessa equação. Para isso, vamos precisar entender como funciona esse método e verificar se a forma do lado direito da equação (ou seja, ) se encaixa nas condições para aplicar o método.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é usado para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial linear quando o termo do lado direito (chamado de não homogêneo) é uma função que a gente já conhece, como polinômios, exponenciais, senos e cossenos, ou combinações desses.
No nosso caso, o lado direito é , que é uma combinação de um polinômio (
) e uma função trigonométrica (). Isso se encaixa nas funções que o método dos coeficientes indeterminados pode tratar.
Passo 3
Agora, vamos verificar a equação homogênea associada:
Resolvendo a equação característica:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Perceba que já está na solução da equação homogênea. Isso significa que, quando aplicamos o método dos coeficientes indeterminados, precisamos multiplicar a nossa chute (uma função que a gente propõe como solução particular) por
para evitar repetição com a solução homogênea.
Passo 4
Como o lado direito da equação é , que é um polinômio de grau 1 (
) multiplicado por , e considerando que já está na solução homogênea, nosso chute para a solução particular será:
Aqui,
,
,
e
são coeficientes que a gente precisa determinar. Multiplicamos por
para garantir que a solução particular não coincida com a solução homogênea.
Passo 5
Com nosso chute
, a gente precisa derivar duas vezes e substituir na equação original para encontrar os valores de
,
,
e
. Esse processo envolve bastante cálculo, mas o importante aqui é entender que o método dos coeficientes indeterminados está sendo aplicado corretamente, considerando a necessidade de multiplicar por
devido à presença de na solução homogênea.
Resposta
Sim, o método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.