Nos problemas 1-8, decida se o método dos coeficientes indeterminados pode ou não ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.
y^prime prime+4 y=16 t sen 2 t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo:
O assunto aqui é métodos para resolver equações diferenciais lineares, mais especificamente o método dos coeficientes indeterminados. Nosso objetivo é decidir se esse método dá pra ser usado para encontrar uma solução particular dessa equação. Para isso, vamos precisar entender como funciona esse método e verificar se a forma do lado direito da equação (ou seja, ) se encaixa nas condições para aplicar o método.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método dos coeficientes indeterminados. Esse método é usado para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial linear quando o termo do lado direito (chamado de não homogêneo) é uma função que a gente já conhece, como polinômios, exponenciais, senos e cossenos, ou combinações desses.
No nosso caso, o lado direito é , que é uma combinação de um polinômio ( 16t sen 2t) e uma função trigonométrica (). Isso se encaixa nas funções que o método dos coeficientes indeterminados pode tratar.

Passo 3

Agora, vamos verificar a equação homogênea associada:
y'' + 4y = 0
Resolvendo a equação característica:
r^2 + 4 = 0 Rightarrow r = pm 2i
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Perceba que já está na solução da equação homogênea. Isso significa que, quando aplicamos o método dos coeficientes indeterminados, precisamos multiplicar a nossa chute (uma função que a gente propõe como solução particular) por yh = C1 cos 2t + C2 sen 2t para evitar repetição com a solução homogênea.

Passo 4

Como o lado direito da equação é , que é um polinômio de grau 1 ( 16t sen 2t) multiplicado por , e considerando que já está na solução homogênea, nosso chute para a solução particular será:
Aqui, t, sen 2t, sen 2t e yp = t(A t + B) cos 2t + t(C t + D) sen 2t são coeficientes que a gente precisa determinar. Multiplicamos por A para garantir que a solução particular não coincida com a solução homogênea.

Passo 5

Com nosso chute yp, a gente precisa derivar duas vezes e substituir na equação original para encontrar os valores de A, B, C e D. Esse processo envolve bastante cálculo, mas o importante aqui é entender que o método dos coeficientes indeterminados está sendo aplicado corretamente, considerando a necessidade de multiplicar por t devido à presença de na solução homogênea.

Resposta

Sim, o método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.

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