Nos problemas 1-8, decida se o método dos coeficientes indeterminados pode ou não ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.
x^prime prime(t)-4 x^prime(t)+4 x(t)=t e^2 t

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o método dos coeficientes indeterminados se aplica à equação x''(t)-4x'(t)+4x(t)=t e^2t. O conteúdo envolve EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos a equação característica:
r^2 - 4r + 4 = 0
que tem raiz dupla r = 2. Logo a solução geral homogênea é
xh(t) = (C1 + C2 t)e^2t

Passo 3

A parte forçante é t e^2t, ou seja, um polinômio de grau 1 multiplicado por e^2t. Como r=2 é raiz dupla da homogênea, o ansatz deve ser multiplicado por t^2. Assim tomamos
xp(t) = t^2 e^2t(A t + B)

Passo 4

Como conseguimos escrever um ansatz válido que não coincide com a solução homogênea, o método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado.

Resposta

O método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado, com ansatz particular
xp(t)=t^2e^2t(At+B)

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