Nos problemas 1-8, decida se o método dos coeficientes indeterminados pode ou não ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.
x^prime prime+5 x^prime-3 x=3^r

Passo 1

Estamos lidando com a EDO de coeficientes constantes
x’’ + 5x’ – 3x = 3^r
e precisamos decidir se o método dos coeficientes indeterminados se aplica. O conteúdo aqui é EDO linear com termo não-homogêneo exponencial, e vamos verificar encaixe e possível ressonância.

Passo 2

O termo não homogêneo é 3^r, que podemos reescrever como exponencial:
3^r = e^rln 3
No método dos coeficientes indeterminados, quando o forçante é um exponencial e^{αr}, propomos uma solução particular do mesmo tipo: x_p = A e^{αr}.

Passo 3

Calculamos a equação característica da parte homogênea:
λ^2 + 5λ - 3 = 0
Suas raízes são
λ1,2 = -5 pm raiz25 + 122 = -5 pm raiz372

Passo 4

Comparamos α = ln 3 com as raízes λ_{1,2}. Como ln 3 \approx 1{,}10 não coincide com \frac{-5 ± √37}2 (≈0{,}54 ou –5{,}54), não há ressonância. Logo podemos usar x_p = A e^{r ln 3} = A·3^r e encontrar A. Portanto o método se aplica.

Resposta

O método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado, pois 3^r é um exponencial e ln 3 não é raiz da equação característica.

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