Nos problemas
, decida se o método dos coeficientes indeterminados pode ou não ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação dada.
Passo 1
Estamos lidando com a EDO de coeficientes constantes
x’’ + 5x’ – 3x = 3^r
e precisamos decidir se o método dos coeficientes indeterminados se aplica. O conteúdo aqui é EDO linear com termo não-homogêneo exponencial, e vamos verificar encaixe e possível ressonância.
x’’ + 5x’ – 3x = 3^r
e precisamos decidir se o método dos coeficientes indeterminados se aplica. O conteúdo aqui é EDO linear com termo não-homogêneo exponencial, e vamos verificar encaixe e possível ressonância.
Passo 2
O termo não homogêneo é 3^r, que podemos reescrever como exponencial:
No método dos coeficientes indeterminados, quando o forçante é um exponencial e^{αr}, propomos uma solução particular do mesmo tipo: x_p = A e^{αr}.
Passo 3
Calculamos a equação característica da parte homogênea:
Suas raízes são
Passo 4
Comparamos α = ln 3 com as raízes λ_{1,2}. Como ln 3 \approx 1{,}10 não coincide com \frac{-5 ± √37}2 (≈0{,}54 ou –5{,}54), não há ressonância. Logo podemos usar x_p = A e^{r ln 3} = A·3^r e encontrar A. Portanto o método se aplica.
Resposta
O método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado, pois 3^r é um exponencial e ln 3 não é raiz da equação característica.