Nos problemas 5-8, determine o gradiente da função dada no ponto indicado.
f(x, y)=x^{2}-4 y^{2} ;(2 ; 4)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f(x,y)=x^{2}-4y^{2} no ponto (2,4). O conteúdo é derivadas parciais: o gradiente \nabla f é o vetor formado por \bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\bigr).

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=-8y.
Portanto
\nabla f(x,y)=(2x,\,-8y).

Passo 4

Avaliando em (2,4):
\nabla f(2,4)=(2\cdot2,\,-8\cdot4)=(4,\,-32).

Resposta

\nabla f(2,4)=(4,-32)

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