Nos problemas 1-4, calcule o gradiente para a função dada.
f(x, y, z)=\frac{x y^{2}}{z^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y,z)=\frac{x\,y^{2}}{z^{3}}.
Aqui o conteúdo é cálculo de derivadas parciais: para encontrar \nabla f precisamos obter \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e \frac{\partial f}{\partial z}, tratando as outras variáveis como constantes.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} vemos
f(x,y,z)=x\,y^{2}\,z^{-3},
onde y^{2}z^{-3} é constante em relação a x. Aplicando a regra de derivada de x obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2}\,z^{-3}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} reescrevemos
f(x,y,z)=x\,z^{-3}\,y^{2},
onde x\,z^{-3} é constante em relação a y. Usando a regra de potência em y^{2} vem
\frac{\partial f}{\partial y} = x\,z^{-3}\cdot 2y =2\,x\,y\,z^{-3}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} temos
f(x,y,z)=x\,y^{2}\,z^{-3}.
Agora x\,y^{2} é constante e aplicamos a regra de potência em z^{-3}:
\frac{\partial f}{\partial z} = x\,y^{2}\cdot(-3)\,z^{-4} =-3\,x\,y^{2}\,z^{-4}.

Passo 5

Juntando os três componentes, o gradiente fica
\nabla f(x,y,z) =\bigl(\tfrac{y^{2}}{z^{3}},\;\tfrac{2\,x\,y}{z^{3}},\;-\,\tfrac{3\,x\,y^{2}}{z^{4}}\bigr).

Resposta

\displaystyle \nabla f(x,y,z)=\Bigl(\frac{y^{2}}{z^{3}},\;\frac{2\,x\,y}{z^{3}},\;-\,\frac{3\,x\,y^{2}}{z^{4}}\Bigr).

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