Nos problemas 1-4, calcule o gradiente para a função dada.
f(x, y, z)=x y \cos (y z)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y,z)=x\,y\cos(yz).
O gradiente de uma função de três variáveis é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr).
Para calcular cada componente usaremos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Vemos f(x,y,z)=\bigl(xy\bigr)\cos(yz). Tratando y e z como constantes,
a derivada de xy em relação a x é y. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = y\cos(yz).

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Agora usamos produto entre x e \cos(yz):
  1. Derivada de x\,y em relação a y é x, multiplicada por \cos(yz) x\cos(yz).
  2. Mantendo x\,y e derivando \cos(yz) em relação a y: pela regra da cadeia, \frac{d}{dy}\cos(yz)=-\sin(yz)\cdot z. Multiplicando por x\,y resulta -x\,y\,z\sin(yz).
    Somando as partes,
\frac{\partial f}{\partial y} = x\cos(yz)-x\,y\,z\sin(yz).

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Aqui x\,y é constante e derivamos \cos(yz) em relação a z.
Pela regra da cadeia, \frac{d}{dz}\cos(yz)=-\sin(yz)\cdot y.
Multiplicando por x\,y
\frac{\partial f}{\partial z} = -x\,y^{2}\sin(yz).

Resposta

\nabla f(x,y,z) =\bigl(y\cos(yz),\,x\cos(yz)-x\,y\,z\sin(yz),\,-x\,y^{2}\sin(yz)\bigr).

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