Nos problemas 1-4, calcule o gradiente para a função dada.
Passo 1
O enunciado pede o gradiente de
O gradiente de uma função de três variáveis é o vetor das derivadas parciais:
Para calcular cada componente usaremos a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Calcular
.
Vemos . Tratando
e
como constantes,
a derivada de em relação a
é
. Logo,
Vemos
a derivada de
Passo 3
Calcular
.
Agora usamos produto entre e
:
Agora usamos produto entre
- Derivada de
em relação a é , multiplicada por dá . - Mantendo
e derivando em relação a : pela regra da cadeia, . Multiplicando por resulta .
Somando as partes,
Passo 4
Calcular
.
Aqui é constante e derivamos
em relação a
.
Pela regra da cadeia, .
Multiplicando por dá
Aqui
Pela regra da cadeia,
Multiplicando por