Questão 18. Considere uma corda elástica de comprimento L com extremidades fixas. A corda é colocada em movimento a partir da posição de equilíbrio com velocidade inicial u_{t}(x, 0)=g(x). Nos problemas de 1 a 4 , encontre o deslocamento u(x, t) para a função g(x) dada.
g(x)= \begin{cases}1, & L / 2-1<x<L / 2+1 \quad(L>2), \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o deslocamento u(x,t)\) de uma corda elástica de comprimento \(L\) com extremidades fixas, quando a corda parte da posição de equilíbrio (ou seja \(u(x,0)=0\)) e tem velocidade inicial \[u_t(x,0)=g(x),
onde a função g(x) é dada por
g(x)= \begin{cases}1, & L/2-1<x<L/2+1 \quad(L>2), \\[4pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}á
Informações relevantes fornecidas:
  • As extremidades são fixas: u(0,t)=u(L,t)=0\] para todo \(t.
  • Condição inicial de deslocamento: u(x,0)=0.
  • Condição inicial de velocidade: u_t(x,0)=g(x) (função retangular centrada em L/2 de largura 2).
  • O problema é o problema padrão da equação da onda numa corda; a velocidade de propagação do sinal será chamada de c (não fornecida no enunciado; mantemos c simbólico).]

Passo 2

Qual método vou usar e por que: para uma corda com extremidades fixas a técnica clássica é expandir a solução em séries de senos (método de separação de variáveis / séries de Fourier senoidais). Isso é indicado porque as funções próprias que satisfazem as condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0 são \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) e existe uma fórmula explícita para a solução quando se conhece a expansão de g(x) nessa base. Vou ensinar como obter a fórmula geral e depois calcular os coeficientes para o g dado.

Passo 3

Formulação geral e explicação das quantidades:
  • A equação da onda para a corda é
u_{tt}=c^{2}u_{xx},
com u(0,t)=u(L,t)=0, u(x,0)=0 e u_t(x,0)=g(x).
  • Procuramos solução na forma de série
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} X_n(x)\,T_n(t),
e, seguindo o procedimento padrão (separação de variáveis), as funções espaciais próprias que satisfazem as condições de contorno são
X_n(x)=\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
com frequências angulares próprias
\omega_n=\frac{n\pi c}{L},\qquad n=1,2,3,\dots
  • A solução geral que satisfaz u(x,0)=0 e u_t(x,0)=g(x) pode ser escrita como (resultado padrão da teoria de séries de Fourier para a onda)
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Big( \frac{B_n}{\omega_n}\sin(\omega_n t)\Big)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
onde os coeficientes B_n são os coeficientes da expansão de g(x) na base dos senos:
B_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} g(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{L}\right)\,ds.
Explicação curta do que significa cada símbolo:
  • c é a velocidade de propagação das ondas na corda;
  • n é o índice modal (modo normal);
  • \omega_n é a frequência angular do modo n;
  • B_n mede quanto do modo \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) está presente na velocidade inicial.

Passo 4

Cálculo explícito dos coeficientes B_n usando a forma de g(x). Como g(s)=1 apenas em [L/2-1,\,L/2+1] (e zero fora), a integral reduz-se a
\int_{0}^{L} g(s)\sin\!\left(\frac{n\pi s}{L}\right)\,ds = \int_{L/2-1}^{\,L/2+1} \sin\!\left(\frac{n\pi s}{L}\right)\,ds.
Calcule a integral: com \alpha=\dfrac{n\pi}{L},
\int_{L/2-1}^{L/2+1}\sin(\alpha s)\,ds = \Big[-\frac{1}{\alpha}\cos(\alpha s)\Big]_{s=L/2-1}^{L/2+1} = \frac{1}{\alpha}\big(\cos(\alpha(L/2-1))-\cos(\alpha(L/2+1))\big).
Use a identidade trigonométrica \cos A-\cos B = -2\sin\!\big(\tfrac{A+B}{2}\big)\sin\!\big(\tfrac{A-B}{2}\big). Aqui
A=\alpha\big(\tfrac{L}{2}-1\big),\qquad B=\alpha\big(\tfrac{L}{2}+1\big).
Então
\cos(A)-\cos(B) = -2\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Calcule \tfrac{A+B}{2}=\alpha\frac{L}{2}=\frac{n\pi}{2} e \tfrac{A-B}{2}=-\alpha=-\frac{n\pi}{L}. Assim
\cos(A)-\cos(B) = -2\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(-\frac{n\pi}{L}\right) =2\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}\right),
porque \sin(-\theta)=-\sin\theta.
Portanto a integral vale
\int_{L/2-1}^{L/2+1}\sin(\alpha s)\,ds = \frac{1}{\alpha}\cdot 2\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}\right).
Lembrando \alpha=\dfrac{n\pi}{L}, obtemos
\int_{L/2-1}^{L/2+1}\sin\!\left(\frac{n\pi s}{L}\right)\,ds = \frac{2L}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}\right).
Então, usando B_n=\dfrac{2}{L} vezes essa integral,
B_n=\frac{2}{L}\cdot \frac{2L}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}\right) = \frac{4}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}\right).

Passo 5

Inserindo B_n na fórmula da solução. Temos \omega_n=\dfrac{n\pi c}{L}, portanto
\frac{B_n}{\omega_n} = \frac{4}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}\right)\cdot\frac{L}{n\pi c} = \frac{4L}{n^{2}\pi^{2}c}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}\right).
Substituindo em u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{B_n}{\omega_n}\sin(\omega_n t)\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) obtemos
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4L}{n^{2}\pi^{2}c}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}\right)\right) \sin\!\left(\frac{n\pi c t}{L}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).

Passo 6

Observação prática (simplificação usando paridade dos termos): \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big) é zero quando n é par, e vale (-1)^m quando n=2m+1 (ímpar). Logo somente os modos ímpares contribuem. Podemos reescrever a soma apenas sobre n=2m+1 (com m=0,1,2,\dots):
Para n=2m+1,
\sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi}{2}\right)=(-1)^m,
portanto uma forma mais compacta é
u(x,t)=\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{4L}{(2m+1)^{2}\pi^{2}c}(-1)^m \sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi}{L}\right)\right) \sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi c t}{L}\right)\sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{L}\right).
Essa expressão evidencia que apenas os modos ímpares participam da resposta, com sinais alternados dados por (-1)^m.

Passo 7

Interpretação rápida e como usar na prova:
  • A solução está em série de modos normais \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) com amplitude proporcional ao produto \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{L}\big). A presença do fator \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big) elimina os modos pares.
  • Se for necessário avaliar numericamente u(x,t) em pontos concretos, basta truncar a série após um número razoável de termos (por exemplo, 50–200 termos dependendo da precisão requerida).
  • Se c não for dado, a resposta fica em função de c (velocidade das ondas na corda); se na prova c for fornecido, substitua.

Resposta

u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4L}{n^{2}\pi^{2}c}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}\right)\right) \sin\!\left(\frac{n\pi c t}{L}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
ou equivalentemente, somando apenas sobre modos ímpares n=2m+1,
u(x,t)=\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{4L}{(2m+1)^{2}\pi^{2}c}(-1)^m \sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi}{L}\right)\right) \sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi c t}{L}\right)\sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{L}\right).

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