Nos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
y^(t)-4 y^prime prime=t^2+e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . Aqui, a gente está lidando com uma equação diferencial linear de coeficientes constantes. Pra resolver, a gente precisa achar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, r^3 - 4 r^2 = 0 . Para isso, montamos a equação característica substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica r^2(r - 4) = 0 . Podemos fatorar e obter:
Isso nos dá as raízes (com multiplicidade 2) e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução homogênea é formada por combinações dessas raízes. Assim, temos:
yh = C1 + C2 t + C3 e^4t
Onde , e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea yp1 = At^2 + Bt + C . Vamos dividir isso em duas partes:
Parte 1: yp2 = De^t
Assumimos uma solução particular da forma:
Parte 2:
Assumimos uma solução particular da forma:

Passo 6

Vamos encontrar os coeficientes yp1' = 2At + B , yp1'' = 2A , yp1''' = 0 e 0 - 4(2A) = t^2 substituindo -8A = t^2 e yp2' = De^t na equação original e igualando os termos.
Primeiro, para yp2'' = De^t :
yp2''' = De^t
De^t - 4De^t = e^t
-3De^t = e^t
Substituindo na equação:
D = -13
Não há como resolver diretamente, então ajustamos a hipótese. Na verdade, precisamos incluir todos os termos até , então a solução permanece assim.
Para :
Substituindo na equação:

Passo 7

Agora, juntando tudo, a solução geral é a soma da solução homogênea com as soluções particulares:
y = yh + yp1 + yp2 = C1 + C2 t + C3 e^4t + At^2 + Bt + C - 13 e^t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 + C2 t + C3 e^4t + At^2 + Bt + C - 13 e^t
Onde , , , , e são constantes arbitrárias.

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