Nos problemas de 1 a 8, determine a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. Aqui, a gente está lidando com uma equação diferencial linear de coeficientes constantes. Pra resolver, a gente precisa achar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Podemos fatorar
e obter:
Isso nos dá as raízes
(com multiplicidade 2) e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução homogênea é formada por combinações dessas raízes. Assim, temos:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea
. Vamos dividir isso em duas partes:
Parte 1:
Assumimos uma solução particular da forma:
Assumimos uma solução particular da forma:
Parte 2:
Assumimos uma solução particular da forma:
Assumimos uma solução particular da forma:
Passo 6
Vamos encontrar os coeficientes
,
,
e
substituindo
e
na equação original e igualando os termos.
Primeiro, para
:
Substituindo na equação:
Não há como resolver diretamente, então ajustamos a hipótese. Na verdade, precisamos incluir todos os termos até
, então a solução permanece assim.
Para
:
Substituindo na equação:
Passo 7
Agora, juntando tudo, a solução geral é a soma da solução homogênea com as soluções particulares:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
,
,
,
e
são constantes arbitrárias.