Calcule as integrais
integral arctan 4 t d t

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida
integral arctan(4t),dt.
O conteúdo principal será a técnica de integração por partes, e precisaremos também da derivada
ddtl[arctan(4t)r]=41+16t^2.

Passo 2

Aplicamos a fórmula de partes
integral u,dv = u,v - integral v,du
escolhendo
u = arctan(4t), dv = dt
Logo,
du = 41+16t^2,dt, v = t

Passo 3

Substituindo na fórmula de partes obtemos
integral arctan(4t),dt = t;arctan(4t) ;-;integral t;41+16t^2,dt

Passo 4

Para calcular
integral 4t1+16t^2,dt,
fazemos a substituição
w = 1 + 16t^2, dw = 32t,dt ;Longrightarrow; t,dt = dw32
Assim,
integral 4t1+16t^2,dt = integral 4w,dw32 = 18integral dww = 18lnl|wr| = 18lnl(1+16t^2r)

Passo 5

Voltando à expressão da parte por partes, concluímos
integral arctan(4t),dt = t,arctan(4t) - 18lnl(1+16t^2r) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

integral arctan(4t),dt = t,arctan(4t) - 18lnl(1+16t^2r) + C

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