Nos problemas 1-4, encontre uma solução formal para o problema da corda vibratória regida pelo problema de valores de fronteira e inicial dado.
l partial^2 upartial t^2=16 partial^2 upartial x^2, 00 u(0, t)=u(pi, t)=0, t>0 u(x, 0)=sen^2 x, 00 u(0, t)=u(pi, t)=0, t>0 u(x, 0)=x^2(pi-x), 0

Passo 1

O problema é o da corda vibratória subordinada à equação utt=16,uxx em 0, com fronteira fixa em x=0,pi e condições iniciais u(x,0)=sin^2x, ut(x,0)=1-cos x. Vamos usar separação de variáveis e séries de senos para obter a solução formal.

Passo 2

Assumindo solução do tipo série de modos normais, escrevemos
$$\nu(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_n\cos(4n t)+B_n\sin(4n t)\bigr)\sin(nx).
$$
Aqui o fator nu(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(4n t)+Bnsin(4n t)r)sin(nx) vem de 4 e os autovalores são c=4 com autofunções lambdan=n^2.

Passo 3

Para determinar An, usamos a condição inicial de deslocamento:
$$\nu(x,0)=\sin2x=\sum_{n=1}{\infty}A_n\sin(nx).
nu(x,0)=sin^2x=sumn=1^inftyAnsin(nx)
A_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}{\pi}\sin2x,\sin(nx),dx.
$$

Passo 4

Para determinar Bn, usamos a condição inicial de velocidade:
$$\nu_t(x,0)=1-\cos x=\sum_{n=1}^{\infty}4n B_n\sin(nx).
nut(x,0)=1-cos x=sumn=1^infty4n Bnsin(nx)
4nB_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\cos x\bigr)\sin(nx),dx
sin(nx)
B_n=\frac{1}{2n\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\cos x\bigr)\sin(nx),dx.
$$

Passo 5

Portanto a solução formal do primeiro problema é
nu(x,t)=sumn=1^inftygl(2piintegral0^pisin^2s,sin(ns),dsgr)cos(4n t)sin(nx) +sumn=1^inftygl(12npiintegral0^pi(1-cos s)sin(ns),dsgr)sin(4n t)sin(nx)

Passo 6

O segundo problema aparece com utt=4,uxx e condição inicial de deslocamento u(x,0)=x^2(pi-x), mas não foi fornecida a condição inicial de velocidade ut(x,0). Sem essa informação, não há como determinar os coeficientes da parte em sin(2n t), e portanto não podemos construir a solução completa.

Resposta

Para c^2=16, a solução formal é
boxedu(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(4n t)+Bnsin(4n t)r)sin(nx),
com
An=2piintegral0^pisin^2x,sin(nx),dx, Bn=12npiintegral0^pi(1-cos x)sin(nx),dx
Para c^2=4, não é possível achar a solução completa porque falta a condição inicial de velocidade ut(x,0).

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