Nos problemas 1-4, encontre uma solução formal para o problema da corda vibratória regida pelo problema de valores de fronteira e inicial dado.
Passo 1
O problema é o da corda vibratória subordinada à equação
em
, com fronteira fixa em
e condições iniciais
,
. Vamos usar separação de variáveis e séries de senos para obter a solução formal.
Passo 2
Assumindo solução do tipo série de modos normais, escrevemos
$$\nu(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_n\cos(4n t)+B_n\sin(4n t)\bigr)\sin(nx).
$$
Aqui o fator vem de
e os autovalores são
com autofunções
.
Aqui o fator
Passo 3
Para determinar
, usamos a condição inicial de deslocamento:
$$\nu(x,0)=\sin2x=\sum_{n=1}{\infty}A_n\sin(nx).
A_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}{\pi}\sin2x,\sin(nx),dx.
$$
Passo 4
Para determinar
, usamos a condição inicial de velocidade:
$$\nu_t(x,0)=1-\cos x=\sum_{n=1}^{\infty}4n B_n\sin(nx).
4nB_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\cos x\bigr)\sin(nx),dx
B_n=\frac{1}{2n\pi}\int_{0}^{\pi}\bigl(1-\cos x\bigr)\sin(nx),dx.
$$
Passo 5
Portanto a solução formal do primeiro problema é
Passo 6
O segundo problema aparece com
e condição inicial de deslocamento
, mas não foi fornecida a condição inicial de velocidade
. Sem essa informação, não há como determinar os coeficientes da parte em
, e portanto não podemos construir a solução completa.
Resposta
Para
, a solução formal é
com
Para
, não é possível achar a solução completa porque falta a condição inicial de velocidade
.