Nos problemas de 1-5 encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
od conteúdo é Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para obter a solução geral como soma da solução homogênea e de uma particular.
Passo 2
Começando pela solução homogênea: associamos o polinômio característico
o que dá raiz dupla
Passo 3
Para o termo polinomial
, fazemos o palpite
Então
$$y_{p1}’=2Ax+B,
\quad y_{p1}’’=2A.
2A-6(2Ax+B)+9(Ax^2+Bx+C)=9A x^2+(-12A+9B)x+(2A-6B+9C).
;-12A+9B=0,
;2A-6B+9C=2,
;2A-6B+9C=2,
$$
cuja solução é .
cuja solução é
Passo 4
Para o termo exponencial
, há ressonância de ordem 2 (
de multiplicidade 2), então palpitamos
$$y_{p2}=U x^2 e^{3x}.
\quad\implies\quad U=-6.
$$
Passo 5
Por fim, a solução geral é a soma das partes: homogênea e particulares:
Passo 6
$$y(x)=C_1 e^{3x}+C_2 x e{3x}+iggl(\tfrac{2}{3}x2+\tfrac{8}{9}x+\tfrac{2}{3}\biggr)-6x^2 e^{3x}.
$$