Nos problemas de 1-5 encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
y^prime prime-6 y^prime+9 y=6 x^2+2-12 e^3 x

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes
y''-6y'+9y=6x^2+2-12e^3x,
od conteúdo é Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para obter a solução geral como soma da solução homogênea e de uma particular.

Passo 2

Começando pela solução homogênea: associamos o polinômio característico
r^2-6r+9=0,
o que dá raiz dupla r=3. Logo
yh = C1 e^3x + C2 x e^3x

Passo 3

Para o termo polinomial 6x^2+2, fazemos o palpite
yp1=Ax^2+Bx+C
Então
$$y_{p1}’=2Ax+B,
\quad y_{p1}’’=2A. yp1'=2Ax+B, yp1''=2A
2A-6(2Ax+B)+9(Ax^2+Bx+C)=9A x^2+(-12A+9B)x+(2A-6B+9C).
y''-6y'+9y9A=6,
;-12A+9B=0,
;2A-6B+9C=2,
$$
cuja solução é 2A-6(2Ax+B)+9(Ax^2+Bx+C)=9A x^2+(-12A+9B)x+(2A-6B+9C) .

Passo 4

Para o termo exponencial -12e^3x, há ressonância de ordem 2 ( r=3 de multiplicidade 2), então palpitamos
$$y_{p2}=U x^2 e^{3x}.
yp2=U x^2 e^3x 2U e{3x}=-12e{3x}
\quad\implies\quad U=-6.
$$

Passo 5

Por fim, a solução geral é a soma das partes: homogênea e particulares:

Passo 6

$$y(x)=C_1 e^{3x}+C_2 x e{3x}+iggl(\tfrac{2}{3}x2+\tfrac{8}{9}x+\tfrac{2}{3}\biggr)-6x^2 e^{3x}.
$$

Resposta

y(x)=C1 e^3x+C2 x e^3x+23x^2+89x+23-6x^2 e^3x

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