Nos problemas de 1-5 encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
y^prime prime-2 y^prime+y=e^x

Passo 1

A equação diferencial é y'' - 2y' + y = e^x. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral como soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos a equação característica r^2 - 2r + 1 = 0. Nota-se que r^2 - 2r + 1 = (r-1)^2, ou seja, há raiz dupla r=1. Logo, a solução homogênea é
yh = C1 e^x + C2 x e^x

Passo 3

Agora, buscamos uma solução particular por coeficientes a determinar. Como o termo não homogêneo é e^x e e^x já aparece na homogênea com multiplicidade 2, tentamos
yp = A x^2 e^x
Calculamos derivadas:
yp' = Al(x^2 + 2xr)e^x,
yp'' = Al(x^2 + 4x + 2r)e^x

Passo 4

Substituindo em y'' - 2y' + y = e^x:
yp'' - 2yp' + yp = A e^xl((x^2+4x+2)-2(x^2+2x)+x^2r) = 2A e^x
Queremos isso igual a e^x, logo 2A=1 e A=1/2. Portanto
yp = tfrac12 x^2 e^x

Passo 5

Somando homogênea e particular, obtemos a solução geral.

Resposta

A solução geral é y = C1 e^x + C2 x e^x + tfrac12 x^2 e^x.

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