Nos problemas de 1-5 encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
y^prime prime prime prime-3 y^prime prime+3 y^prime-y=4 e^t

Passo 1

A gente tem a equação diferencial linear de 4ª ordem com coeficientes constantes
A equação é
y'''' - 3y'' + 3y' - y = 4e^t
O objetivo é achar a solução geral, que é a soma da solução complementar (homogênea) com uma solução particular. Vamos usar o método do polinômio característico para a parte homogênea e o método dos coeficientes indeterminados para a parte particular.

Passo 2

Para achar a solução complementar, montamos o polinômio característico trocando cada derivada por potências de r:
r^4 - 3r^2 + 3r - 1 = 0

Passo 3

Percebemos que r=1 é raiz, pois substituindo dá zero. Então podemos fatorar:
r^4 - 3r^2 + 3r - 1 = (r - 1)(r^3 + r^2 - 2r + 1)
As outras três raízes vêm do polinômio cúbico r^3 + r^2 - 2r + 1=0; vamos chamar essas raízes de r2, r3, r4.

Passo 4

Como são quatro raízes reais ou complexas (uma é r1=1 e as outras três sao r2,r3,r4), a solução complementar é
yc(t)=C1 e^r1 t+C2 e^r2 t+C3 e^r3 t+C4 e^r4 t
mas, como r1=1, fica
yc(t)=C1 e^t+C2 e^r2 t+C3 e^r3 t+C4 e^r4 t

Passo 5

Agora, para achar uma solução particular yp, notamos que o termo não-homogêneo é 4e^t e r=1 é raiz simples do polinômio característico. Então escolhemos o chute
yp(t)=A t e^t
Calculando as derivadas e substituindo em
L[y]=y'''' -3y'' +3y' - y
vemos que tudo se reduz a
L[yp]=A e^t
Queremos L[yp]=4e^t, logo A=4. Então
yp(t)=4t e^t

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1 e^t+C2 e^r2 t+C3 e^r3 t+C4 e^r4 t+4t e^t,
onde r2,r3,r4 são as raízes do polinômio r^3+r^2-2r+1=0 e C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

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