Nos problemas de 1-5 encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Passo 1
A gente tem a equação diferencial linear de 4ª ordem com coeficientes constantes
A equação é
O objetivo é achar a solução geral, que é a soma da solução complementar (homogênea) com uma solução particular. Vamos usar o método do polinômio característico para a parte homogênea e o método dos coeficientes indeterminados para a parte particular.
Passo 2
Para achar a solução complementar, montamos o polinômio característico trocando cada derivada por potências de
:
Passo 3
Percebemos que
é raiz, pois substituindo dá zero. Então podemos fatorar:
As outras três raízes vêm do polinômio cúbico
; vamos chamar essas raízes de
.
Passo 4
Como são quatro raízes reais ou complexas (uma é
e as outras três sao
), a solução complementar é
mas, como
, fica
Passo 5
Agora, para achar uma solução particular
, notamos que o termo não-homogêneo é
e
é raiz simples do polinômio característico. Então escolhemos o chute
Calculando as derivadas e substituindo em
vemos que tudo se reduz a
Queremos
, logo
. Então
Resposta
A solução geral é
onde
são as raízes do polinômio
e
são constantes arbitrárias.