Nos problemas de 1 a 6, encontre a transformada de Laplace da função dada.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
.
.
A pergunta é: calcular
Passo 2
Definição e ideia básica: a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é uma variável complexa (na prática, para convergência tomamos
suficientemente grande). Intuição: a transformada integra
pesando por
, “compressando” informação temporal numa função de
. Aqui poderíamos calcular diretamente usando a definição, cortando a integral em
e
. Mas existe uma técnica muito prática quando a função vale zero antes de um certo instante: usar a função degrau unitário (Heaviside) e a propriedade de deslocamento no tempo.
Passo 3
Introdução da função degrau e reescrita de
Então podemos escrever
quando
:
Para usar a propriedade de deslocamento de forma conveniente, é melhor escrever essa última parte como uma função de
. Faça a mudança
(ou escreva
). Então, para
temos
Calcule a expressão no lado direito:
Portanto, escrevemos
Isto é,
com
.
Passo 4
Propriedade de deslocamento (teorema do degrau): se uma função
é da forma
com
, então a transformada de Laplace é
Breve justificativa (mudança de variável na integral): usando a definição,
fazendo
obtemos
Isso é exatamente a propriedade usada.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso: temos
e
. Logo
Passo 6
Calcular as transformadas básicas usadas:
- Transformada de
: por definição,
para
.
- Transformada de
: podemos usar a fórmula geral para inteiro . Para obtemos
(Se preferir, isso pode ser obtido por integração por partes duas vezes, mas a fórmula já é padrão.)
Passo 7
Combine os resultados:
Podemos escrever com denominador comum
:
Multiplicando pelo fator
do deslocamento, obtemos a transformada de
: