Os Problemas 1 a 4 envolvem equações da forma dy/dt=f(y). Em cada problema, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
dy/dt=y(y-1)(y-2), y0 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para analisar a equação autônoma e esboçar o gráfico de f(y), achar os pontos de equilíbrio, classificar sua estabilidade, desenhar a reta de fase e esboçar soluções no plano .
t!!mhyphen!y
Vamos usar conceitos de equações autônomas, raízes de polinômio e análise de sinal para resolver.

Passo 2

Para esboçar f(y)=y(y-1)(y-2), identificamos as raízes em y=0,1,2. Sendo um polinômio de grau 3 com coeficiente líder positivo, temos:
– Quando yto-infty, f(y)to-infty.
– Quando yto+infty, f(y)to+infty.
Entre as raízes, o sinal de f(y) alterna. Com isso montamos o esboço qualitativo do cúbico.

Passo 3

Os pontos de equilíbrio satisfazem f(y^*)=0, logo:
y^*=0, y^*=1, y^*=2
Para classificar, analisamos o sinal de f(y) em cada intervalo:
y<0: três fatores negativos → f(y)<0 → decresce (seta para a esquerda).
0: dois fatores negativos e um positivo → f(y)>0 → cresce (→).
1: um fator negativo e dois positivos → f(y)<0 → decresce (←).
y>2: três fatores positivos → f(y)>0 → cresce (→).
Logo, y=0 e y=2 são instáveis (setas afastam) e y=1 é assintoticamente estável (setas convergem).

Passo 4

Na reta de fase marcamos 0,1,2 em uma linha e posicionamos as setas conforme o sinal de f(y):
← 0 → 1 ← 2 →
Isso reforça que 0 e 2 são pontos de repulsão e 1 é ponto de atração.

Passo 5

No plano esboçamos curvas para várias condições iniciais t!!mhyphen!y:
– Se y0>=0, 0 cresce monotonamente e tende a 1 quando y(t).
– Se tto+infty, 1 decresce monotonamente e tende a 1 quando y(t).
– Se tto+infty, y0>2 cresce sem limite.
– Se y(t), a solução é constante no equilíbrio correspondente.

Resposta

Os pontos de equilíbrio são y=0 (instável), y=1 (assintoticamente estável) e y=2 (instável). A reta de fase tem setas afastando-se de 0 e 2 e convergindo para 1. Soluções com 0<y₀<1 crescem para 1, com 1<y₀<2 decrescem para 1, e com y₀>2 crescem para +∞. Caso y₀=0,1,2, a solução permanece constante.

Exercícios relacionados