Os Problemas 1 a 4 envolvem equações da forma
. Em cada problema, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável ou instável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a equação autônoma e esboçar o gráfico de
, achar os pontos de equilíbrio, classificar sua estabilidade, desenhar a reta de fase e esboçar soluções no plano .
Vamos usar conceitos de equações autônomas, raízes de polinômio e análise de sinal para resolver.
Passo 2
Para esboçar
, identificamos as raízes em
. Sendo um polinômio de grau 3 com coeficiente líder positivo, temos:
– Quando
,
.
– Quando ,
.
– Quando
Entre as raízes, o sinal de
alterna. Com isso montamos o esboço qualitativo do cúbico.
Passo 3
Os pontos de equilíbrio satisfazem
, logo:
Para classificar, analisamos o sinal de
em cada intervalo:
–
: três fatores negativos →
→ decresce (seta para a esquerda).
– : dois fatores negativos e um positivo →
→ cresce (→).
– : um fator negativo e dois positivos →
→ decresce (←).
– : três fatores positivos →
→ cresce (→).
–
–
–
Logo,
e
são instáveis (setas afastam) e
é assintoticamente estável (setas convergem).
Passo 4
Na reta de fase marcamos
em uma linha e posicionamos as setas conforme o sinal de
:
← 0 → 1 ← 2 →
Isso reforça que 0 e 2 são pontos de repulsão e 1 é ponto de atração.
Passo 5
No plano esboçamos curvas para várias condições iniciais
:
– Se
,
cresce monotonamente e tende a 1 quando
.
– Se ,
decresce monotonamente e tende a 1 quando
.
– Se ,
cresce sem limite.
– Se , a solução é constante no equilíbrio correspondente.
– Se
– Se
– Se
Resposta
Os pontos de equilíbrio são y=0 (instável), y=1 (assintoticamente estável) e y=2 (instável). A reta de fase tem setas afastando-se de 0 e 2 e convergindo para 1. Soluções com 0<y₀<1 crescem para 1, com 1<y₀<2 decrescem para 1, e com y₀>2 crescem para +∞. Caso y₀=0,1,2, a solução permanece constante.