Mostre que
e que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a fórmula fechada da função inversa do seno (arcsen) em números complexos e em seguida calcular sua derivada. O conteúdo envolve análise complexa, definição de $\sin w$ em termos de exponenciais, uso do logaritmo complexo e regra da cadeia para derivação.
Passo 2
Para encontrar $\arcsen z$ resolvemos
escrevendo o seno como
Defina $y = e^{i w}$. Então
que leva à equação quadrática
Suas raízes são
Passo 3
Sabendo que $w = -i ,\log y$, substituímos a solução apropriada escolhendo o ramo principal do logaritmo e da raiz quadrada para obter
Passo 4
Para derivar usamos a regra da cadeia e do logaritmo: se $f(z) = -i\log(g(z))$, então
Aqui $g(z) = i z + \sqrt{1 - z^2}$ e
Passo 5
Agora simplificamos
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado $-i z + \sqrt{1 - z^2}$ e usando $ (i z + s)(-i z + s) = 1 $ com $s = \sqrt{1 - z^2}$, obtemos
Resposta
$\arcsen z = -i \log\bigl(i z + \sqrt{1 - z^2}\bigr), \quad (\arcsen z)’ = \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}}$