Mostre que (arcsen z)^prime=1raiz1-z^2 e que .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a fórmula fechada da função inversa do seno (arcsen) em números complexos e em seguida calcular sua derivada. O conteúdo envolve análise complexa, definição de $\sin w$ em termos de exponenciais, uso do logaritmo complexo e regra da cadeia para derivação.

Passo 2

Para encontrar $\arcsen z$ resolvemos arcsen z escrevendo o seno como
sin w = e^i w - e^-i w2i = z
Defina $y = e^{i w}$. Então
y = e^i w
que leva à equação quadrática
y - 1y = 2i z
Suas raízes são
y^2 - 2i z ,y - 1 = 0

Passo 3

Sabendo que $w = -i ,\log y$, substituímos a solução apropriada escolhendo o ramo principal do logaritmo e da raiz quadrada para obter
w = -i ,log y

Passo 4

Para derivar usamos a regra da cadeia e do logaritmo: se $f(z) = -i\log(g(z))$, então
f(z) = -ilog(g(z))
Aqui $g(z) = i z + \sqrt{1 - z^2}$ e
f'(z) = -i ,g'(z)g(z)

Passo 5

Agora simplificamos
(arcsen z)' = -i ,i - tfraczraiz1 - z^2i z + raiz1 - z^2
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado $-i z + \sqrt{1 - z^2}$ e usando $ (i z + s)(-i z + s) = 1 $ com $s = \sqrt{1 - z^2}$, obtemos
-i z + raiz1 - z^2

Resposta

$\arcsen z = -i \log\bigl(i z + \sqrt{1 - z^2}\bigr), \quad (\arcsen z)’ = \frac{1}{\sqrt{1 - z^2}}$

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