• Problemas envolvendo variação de temperatura

Exemplo

Para uma barra restrita, de aço e seção circular de 10 mm de diâmetro e comprimento de 100 mm, qual a tensão e força resultante para uma variação positiva de temperatura de 50 C^circ.

E=207 GPa <br> alpha=1,1 * 10^-5

sigma=-alpha * De

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre variação de temperatura em um material. O que precisamos descobrir aqui é qual a tensão (σ) e a força (F) resultantes quando a temperatura de uma barra de aço muda. Para resolver isso, vamos precisar entender como a temperatura afeta os materiais e usar algumas fórmulas básicas de física dos materiais, como a do módulo de Young e a expansão térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Diâmetro da barra (d): 10 mm
  • Comprimento da barra (L): 100 mm
  • Variação de temperatura (ΔT): +50°C
  • Módulo de Young (E): 207 GPa (gigapascals)
  • Coeficiente de dilatação térmica (α): 1,1 times 10^-5 , °C^-1
Precisamos encontrar a tensão (σ) e a força (F) resultantes dessa variação de temperatura.

Passo 3

Vamos começar calculando a tensão térmica (σ). Quando um material sofre uma variação de temperatura, ele tende a se expandir ou contrair. Se a barra estiver restrita (não pode se expandir livremente), essa expansão gera uma tensão interna.
A fórmula para a tensão térmica é:
sigma = -alpha times De
O sinal negativo indica que a tensão é de compressão quando a temperatura aumenta.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
  • alpha = 1,1 times 10^-5 , °C^-1
  • De
  • E = 207 , GPa = 207 times 10^3 , MPa (já que 1 , GPa = 10^3 , MPa)
Então,
sigma = -1,1 times 10^-5 times 50 times 207 times 10^3

Passo 5

Calculando passo a passo:
  1. 1,1 times 10^-5 times 50 = 5,5 times 10^-4
  2. 5,5 times 10^-4 times 207 times 10^3 = 5,5 times 207 times 10^-1
  3. 5,5 times 207 = 1138,5
  4. 1138,5 times 10^-1 = 113,85 , MPa
Arredondando, temos:
sigma approx -113 , MPa

Passo 6

Agora, vamos calcular a força (F) resultante dessa tensão. Para isso, precisamos encontrar a área da seção transversal da barra e multiplicar pela tensão.
A área da seção circular (A) é dada por:
A = pi times (d2)^2
Onde d = 10 , mm.

Passo 7

Calculando a área:
A = pi times (102)^2 = pi times 5^2 = pi times 25 approx 78,5 , mm^2

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da força:
F = sigma times A
Substituindo os valores:
  • sigma = 113 , MPa (usamos o valor absoluto para a força)
  • A = 78,5 , mm^2
Lembrando que 1 , MPa = 10^6 , N/m^2 e 1 , mm^2 = 10^-6 , m^2, a unidade de força será em Newtons (N).
Então,
F = 113 times 78,5 = 8.870,5 , N

Resposta

A tensão resultante é de aproximadamente 113 MPa e a força resultante é de cerca de 8.870 N.

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