Nos problemas 3-8, uma equação não homogênea e uma solução particular são dadas. Ache uma solução geral para a equação.
y^prime prime+5 y^prime+6 y=6 x^2+10 x+2+12 e^x, yp(x)=e^x+x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 5y' + 6y = 6x^2 + 10x + 2 + 12e^x
e informa uma solução particular
yp(x) = e^x + x^2
O objetivo é encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução da homogênea com esta parte particular.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada
y'' + 5y' + 6y = 0
A equação característica é
r^2 + 5r + 6 = 0,
cuja fatoração dá (r+2)(r+3)=0. Logo, as raízes são r=-2 e r=-3, e a solução geral da homogênea é
yc(x) = C1 e^-2x + C2 e^-3x

Passo 3

A solução geral da equação não homogênea é
y(x) = yc(x) + yp(x)
Substituindo, obtemos
y(x) = C1 e^-2x + C2 e^-3x + l(e^x + x^2r)

Resposta

y(x) = C1 e^-2x + C2 e^-3x + e^x + x^2

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