Nos problemas 3-8, uma equação não homogênea e uma solução particular são dadas. Ache uma solução geral para a equação.
theta^prime prime-theta^prime-2 theta=1-2 t, thetap(t)=t-1

Passo 1

Temos a equação diferencial não homogênea
theta'' - theta' - 2theta = 1 - 2t,
e já nos deram uma solução particular thetap(t) = t - 1. O que precisamos é da solução geral, que é a soma da solução geral da homogênea com essa thetap.

Passo 2

Primeiro formamos a equação homogênea associada, que é
theta'' - theta' - 2theta = 0
Para resolvê-la, montamos a equação característica
r^2 - r - 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara, temos
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
logo as raízes são r1=2 e r2=-1.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da parte homogênea é
thetah(t) = C1e^2t + C2e^-t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular. Assim,
theta(t) = thetah(t) + thetap(t) = C1e^2t + C2e^-t + l(t - 1r)

Resposta

boxedtheta(t) = C1e^2t + C2e^-t + t - 1

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