use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado:
y^prime prime+4 y=ll t^2 & , 0 <= t<pi pi^2 & , pi <= t<2 pi 3 pi^2-pi t & , 2 pi <= t<3 pi 0 & , 3 pi <= t , y(0)=0 , y^prime(0)=0

Passo 1

O problema pede para resolver o valor inicial
y''+4y=f(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
onde f(t) é forçante em quatro trechos:
f(t)= t^2,&0<= t<pi, pi^2,&pi<= t<2pi, 3pi^2-pi t,&2pi<= t<3pi, 0,&t>=3pi
O conteúdo que vamos usar é a transformada de Laplace, a manipulação de funções por degrau de Heaviside e o teorema da convolução para inverter a transformada.

Passo 2

Escrevemos f(t) em termos de funções de Heaviside u(t-a). Chamando
ua(t)equiv u(t-a),
temos
f(t)=t^2l(1-upi(t)r) +pi^2l(upi(t)-u2pi(t)r) +l(3pi^2-pi tr)l(u2pi(t)-u3pi(t)r)

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação
Ly''+4 Ly = Lf(t)
Como y(0)=0 e y'(0)=0, temos Ly''=s^2Y(s). Logo
(s^2+4)Y(s)=F(s),
onde F(s)= Lf(t) é a soma das transformadas de cada pedaço com o fator de fase e^-as.

Passo 4

Resolvendo algebricamente,
Y(s)=F(s)s^2+4
Para inverter esta expressão usamos o teorema da convolução:
se Lg(s)=G(s) e Lh(s)=H(s), então
L^-1G(s)H(s)=g*h. Aqui 1/(s^2+4) é a transformada de
tfrac12sin2t, e F(s) é a soma de termos do tipo Lfi(t)ua(t)=e^-asGi(s).

Passo 5

Pela convolução a solução no domínio do tempo é
y(t) =integral0^t12sinl(2(t-tau)r),f(tau),dtau
Separando cada trecho de f(tau) resulta em solução por partes:
y(t) =12integral0^min(t,pi)sinl(2(t-tau)r)tau^2,dtau +pi^22integralpi^min(t,2pi)sinl(2(t-tau)r),dtau
+12integral2pi^min(t,3pi) sinl(2(t-tau)r)l(3pi^2-pitaur),dtau

Resposta

boxed y(t) =12integral0^min(t,pi)sin!l(2(t-tau)r),tau^2,dtau +pi^22integralpi^min(t,2pi)sin!l(2(t-tau)r),dtau +12integral2pi^min(t,3pi)sin!l(2(t-tau)r) l(3pi^2-pitaur),dtau

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