O conteúdo que vamos usar é a transformada de Laplace, a manipulação de funções por degrau de Heaviside e o teorema da convolução para inverter a transformada.
Passo 2
Escrevemos f(t) em termos de funções de Heaviside u(t-a). Chamando
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação
Ly''+4 Ly = Lf(t)
Como y(0)=0 e y'(0)=0, temos Ly''=s^2Y(s). Logo
(s^2+4)Y(s)=F(s),
onde F(s)= Lf(t) é a soma das transformadas de cada pedaço com o fator de fase e^-as.
Passo 4
Resolvendo algebricamente,
Y(s)=F(s)s^2+4
Para inverter esta expressão usamos o teorema da convolução:
se Lg(s)=G(s) e Lh(s)=H(s), então L^-1G(s)H(s)=g*h. Aqui 1/(s^2+4) é a transformada de tfrac12sin2t, e F(s) é a soma de termos do tipo Lfi(t)ua(t)=e^-asGi(s).
Passo 5
Pela convolução a solução no domínio do tempo é
y(t) =integral0^t12sinl(2(t-tau)r),f(tau),dtau
Separando cada trecho de f(tau) resulta em solução por partes: