Nos problemas 3-8, uma equação não homogênea e uma solução particular são dadas. Ache uma solução geral para a equação.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de
sabendo que uma solução particular é
. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com parte homogênea de coeficientes constantes. Vamos, então, obter primeiro a solução da equação homogênea associada e depois acrescentar a solução particular dada.
Passo 2
A equação homogênea é
Escrevendo a equação característica, temos
cuja solução é
Passo 3
Como as raízes são distintas, a solução geral da parte homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Verificamos que
atende à EDO original. Calculando derivadas:
Substituindo em
obtemos
que é exatamente o termo não homogêneo.
Passo 5
A solução geral da EDO não homogênea é