Nos problemas 3-8, uma equação não homogênea e uma solução particular são dadas. Ache uma solução geral para a equação.
y^prime prime=2 y+2 tg^3 x, yp(x)=tg x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de
y'' = 2y + 2tan^3 x
sabendo que uma solução particular é yp(x)=tan x. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea com parte homogênea de coeficientes constantes. Vamos, então, obter primeiro a solução da equação homogênea associada e depois acrescentar a solução particular dada.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' - 2y = 0
Escrevendo a equação característica, temos
r^2 - 2 = 0
cuja solução é
r = pm raiz2

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da parte homogênea é
yh(x) = C1 e^raiz2,x + C2 e^-raiz2,x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Verificamos que yp(x)=tan x atende à EDO original. Calculando derivadas:
yp' = sec^2 x, yp'' = 2sec^2 xtan x = 2tan x + 2tan^3 x
Substituindo em y''-2y obtemos
yp'' - 2yp = (2tan x + 2tan^3 x) - 2tan x = 2tan^3 x,
que é exatamente o termo não homogêneo.

Passo 5

A solução geral da EDO não homogênea é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^raiz2,x + C2 e^-raiz2,x + tan x

Resposta

y(x) = C1 e^raiz2,x + C2 e^-raiz2,x + tan x

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