resolva o problema de valor inicial dado.
Y^prime=[cc -4 & -1 3 & 1 ] cdot Y , Y(0)=[c 2 -1 ]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs lineares com coeficientes constantes
Y' = A,Y, A=-4 & -1 [6pt] 3 & 1, Y(0)=2 [3pt] -1
O método é achar autovalores e autovetores de A, montar a solução geral e impor a condição inicial para determinar as constantes.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A via
det(A-lambda I) =-4-lambda & -1 [3pt] 3 & 1-lambda =(-4-lambda)(1-lambda)-(-1)cdot3 =lambda^2+3lambda-1
As raízes são
lambda1,2=-3pmraiz9+42 =-3pmraiz132 ]

Passo 3

Para cada lambdai achamos um autovetor vi. Do sistema (A-lambda I)v=0 vem, pela primeira linha,
(-4-lambda)x - y = 0 Longrightarrow y=-(4+lambda),x
Para lambda1=tfrac-3+raiz132 escolhemos x=1 e
v1 =1[3pt]-(4+lambda1) =1[3pt]-tfrac5+raiz132
De modo análogo, para lambda2=tfrac-3-raiz132
v2 =1[3pt]-tfrac5-raiz132 ]

Passo 4

A solução geral do sistema é
Y(t) =C1,e^lambda1 t,v1 +C2,e^lambda2 t,v2

Passo 5

Impondo Y(0)=(2,-1)^T obtemos
C1v1 + C2v2 =2[3pt]-1
Isso leva ao sistema
C1 + C2 = 2,[3pt] -tfrac5+raiz132C1 ;-;tfrac5-raiz132C2 = -1
Resolvendo, achamos
C1 = 1 - 4raiz13, C2 = 1 + 4raiz13 ]

Passo 6

Substituindo C1,C2,lambdai,vi na solução geral, obtemos a solução particular completa.

Resposta

Y(t) =l(1 - tfrac4raiz13r),e^-3+raiz132,t 1[3pt]-tfrac5+raiz132 ;+; l(1 + tfrac4raiz13r),e^-3-raiz132,t 1[3pt]-tfrac5-raiz132 ]

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