Nos problemas 3-8, uma equação não homogênea e uma solução particular são dadas. Ache uma solução geral para a equação.
y^prime prime=2 y^prime-y+2 e^x, yp(x)=x^2 e^x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não homogênea
y'' = 2y' - y + 2e^x
e já nos fornece uma solução particular
yp(x) = x^2e^x
O que precisamos é encontrar a solução geral, que é dada por
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh é a solução da equação homogênea associada.

Passo 2

Para achar yh, resolvemos a equação homogênea
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0
que fatoriza em
(r - 1)^2 = 0
Temos raiz dupla r=1, então a solução homogênea é
yh(x) = l(C1 + C2,xr)e^x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora somamos a parte homogênea com a particular para obter a solução geral:
y(x) = yh(x) + yp(x) = l(C1 + C2,xr)e^x + x^2e^x = e^xl(C1 + C2,x + x^2r)

Resposta

y(x) = e^xl(C1 + C2,x + x^2r)

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