que pertence ao conteúdo de sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos seguir estes passos: (1) achar a solução geral do sistema homogêneo associado usando autovalores e autovetores; (2) encontrar uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados, separando os termos que envolvem e os termos polinomiais em ; (3) combinar as duas para obter a solução geral e ajustar as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Solução do homogêneo com
O polinômio característico é
logo , .
Para , resolvemos :
Para , resolvemos :
Logo a solução geral do homogêneo é
]
Passo 3
Procuramos uma parte da solução particular que compense o termo . Fazemos o ansatz
com . Então
e a condição gera, agrupando coeficientes de e , o sistema
Resolvendo em componentes, obtemos
a = 3/21, b = 1/20
Portanto
Xp1(t) =3/21cos t +1/20sin t
Passo 4
Para compensar o termo polinomial
com . Então e a equação
impõe
Da primeira linha vem . Assim
Passo 5
A solução geral do sistema é
Em coordenadas,
Impondo
que leva a .
Resposta
boxed x(t)&=72e^t -5e^-t + 32cos t + 12sin t ;-;4t, y(t)&=72e^t -52e^-t + cos t ;-;3t ;-;1