resolva o problema de valor inicial dado.
c x^prime=-3 x+4 y+cos (t) y^prime=-2 x+3 y+t , x(0)=0 , y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear não homogêneo
x'=-3x+4y+cos t, y'=-2x+3y+t, x(0)=0,;y(0)=1,
que pertence ao conteúdo de sistemas de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos seguir estes passos: (1) achar a solução geral do sistema homogêneo associado usando autovalores e autovetores; (2) encontrar uma solução particular pelo método dos coeficientes indeterminados, separando os termos que envolvem cos t e os termos polinomiais em t; (3) combinar as duas para obter a solução geral e ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Solução do homogêneo X'=A,X com
A = -3 & 4 [6pt] -2 & 3
O polinômio característico é
det(A-lambda I) = (,-3-lambda)(3-lambda)-4cdot(-2) = lambda^2-1=0,
logo lambda1=1, lambda2=-1.
Para lambda1=1, resolvemos (A-I)v1=0:
-4 & 4[3pt]-2 & 2v1=0 ;Longrightarrow;v1=11
Para lambda2=-1, resolvemos (A+I)v2=0:
-2 & 4[3pt]-2 & 4v2=0 ;Longrightarrow;v2=21
Logo a solução geral do homogêneo é
Xh(t) = C111e^t + C221e^-t ]

Passo 3

Procuramos uma parte da solução particular que compense o termo cos t. Fazemos o ansatz
Xp1(t) = acos t + bsin t,
com a,bin R^2. Então
Xp1' = -asin t + bcos t,
e a condição Xp1'=A,Xp1+cos t0 gera, agrupando coeficientes de cos t e sin t, o sistema
b - A,a = 10, -,a - A,b = 00
Resolvendo em componentes, obtemos
a = 3/21, b = 1/20
Portanto
Xp1(t) =3/21cos t +1/20sin t

Passo 4

Para compensar o termo polinomial
com . Então e a equação
impõe
Da primeira linha vem . Assim

Passo 5

A solução geral do sistema é
Em coordenadas,
Impondo
que leva a .

Resposta

boxed x(t)&=72e^t -5e^-t + 32cos t + 12sin t ;-;4t, y(t)&=72e^t -52e^-t + cos t ;-;3t ;-;1

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