Use séries para calcular os limites:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: a expressão que aparece no numerador é
e o ponto onde o limite é tomado é
. Não há mais dados numéricos ou figuras. A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Estratégia: o enunciado nos diz “Use séries”, então vamos desenvolver
como série de potências em torno de
(série de Taylor / Maclaurin), subtrair
, dividir por
e então passar ao limite
. Isso é natural porque séries de potências nos dão a expansão em potências de
e nos permitem identificar os termos dominantes quando
é pequeno.
Passo 3
Vamos obter a série de
a partir da derivada. Primeiro lembramos que
Usamos a série binomial generalizada para
:
onde
Aqui tomamos
e
, porque
com
.
Passo 4
Calculemos os primeiros termos da série de
. Usando a fórmula com
e
:
Agora os primeiros coeficientes:
Substituindo esses termos e lembrando dos sinais de
, obtemos os primeiros termos:
Passo 5
Agora integramos termo a termo para obter
. A integração termo a termo é válida para
(região de convergência da série), o que inclui o ponto
e permite a passagem ao limite. Integramos cada termo usando
:
Fazendo as integrais:
Passo 6
Subtraímos
e dividimos por
. A expansão nos dá
Dividindo por
(para
),
Quando
, os termos com potências positivas de
vão para zero, então a expressão tende a
.
Passo 7
Conclusão final: o limite pedido é
. Respire fundo — não foi tão ruim, e essa técnica de expandir a derivada com binomial e integrar é padrão para funções inversas como
.