Use séries para calcular os limites:
(f) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arcsin x-x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x - x}{x^{3}}.
Informações dadas: a expressão que aparece no numerador é \arcsin x - x e o ponto onde o limite é tomado é x\to 0. Não há mais dados numéricos ou figuras. A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Estratégia: o enunciado nos diz “Use séries”, então vamos desenvolver \arcsin x como série de potências em torno de 0 (série de Taylor / Maclaurin), subtrair x, dividir por x^{3} e então passar ao limite x\to0. Isso é natural porque séries de potências nos dão a expansão em potências de x e nos permitem identificar os termos dominantes quando x é pequeno.

Passo 3

Vamos obter a série de \arcsin x a partir da derivada. Primeiro lembramos que
\frac{d}{dx}\big(\arcsin x\big)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Usamos a série binomial generalizada para (1+u)^{\alpha}:
(1+u)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}u^{n},
onde
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.
Aqui tomamos \alpha=-\tfrac{1}{2} e u=-x^{2}, porque (1-x^{2})^{-1/2}=(1+u)^{-1/2} com u=-x^{2}.

Passo 4

Calculemos os primeiros termos da série de \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}. Usando a fórmula com \alpha=-\tfrac{1}{2} e u=-x^{2}:
\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{-\tfrac{1}{2}}{n}(-x^{2})^{n}.
Agora os primeiros coeficientes:
\binom{-\tfrac{1}{2}}{0}=1,
\binom{-\tfrac{1}{2}}{1}=-\tfrac{1}{2},
\binom{-\tfrac{1}{2}}{2}=\frac{(-\tfrac{1}{2})(-\tfrac{3}{2})}{2!}=\frac{3}{8}.
Substituindo esses termos e lembrando dos sinais de (-x^{2})^{n}, obtemos os primeiros termos:
\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=1+\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{3}{8}x^{4}+\cdots.

Passo 5

Agora integramos termo a termo para obter \arcsin x. A integração termo a termo é válida para |x|<1 (região de convergência da série), o que inclui o ponto 0 e permite a passagem ao limite. Integramos cada termo usando \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}:
\arcsin x=\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt = \int_{0}^{x}\Big(1+\tfrac{1}{2}t^{2}+\tfrac{3}{8}t^{4}+\cdots\Big)dt.
Fazendo as integrais:
\arcsin x = \Big[t+\tfrac{1}{6}t^{3}+\tfrac{3}{40}t^{5}+\cdots\Big]_{0}^{x} = x+\tfrac{1}{6}x^{3}+\tfrac{3}{40}x^{5}+\cdots.

Passo 6

Subtraímos x e dividimos por x^{3}. A expansão nos dá
\arcsin x - x = \tfrac{1}{6}x^{3}+\tfrac{3}{40}x^{5}+\cdots.
Dividindo por x^{3} (para x\neq 0),
\frac{\arcsin x - x}{x^{3}} = \tfrac{1}{6} + \tfrac{3}{40}x^{2} + \cdots.
Quando x\to 0, os termos com potências positivas de x vão para zero, então a expressão tende a \tfrac{1}{6}.

Passo 7

Conclusão final: o limite pedido é \tfrac{1}{6}. Respire fundo — não foi tão ruim, e essa técnica de expandir a derivada com binomial e integrar é padrão para funções inversas como \arcsin.

Resposta

\tfrac{1}{6}

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