Nos problemas de 1 a 6 :
(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.
(b) Encontre a série de Fourier da função dada.
Para cada função a seguir, determine a série de Fourier correspondente:
(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.
(b) Encontre a série de Fourier da função dada.
Para cada função a seguir, determine a série de Fourier correspondente:
Passo 1
O enunciado define a função periódica de período
e pede:
(a) esboçar três períodos de .
Para isso, vamos usar as fórmulas clássicas de coeficientes de Fourier para funções de período :
(a) esboçar três períodos de .
Para isso, vamos usar as fórmulas clássicas de coeficientes de Fourier para funções de período
Passo 2
Para esboçar três períodos basta notar que em cada intervalo de comprimento
temos:
- De
até , a função cresce linearmente de até . - De
até , a função vale sempre .
Em seguida repetimos esse padrão parae para .
Passo 3
Cálculo de
:
Passo 4
Cálculo de
:
Fazendo integração por partes com
,
dá
Logo
que é zero se
é par e igual a
se
é ímpar.
Passo 5
Cálculo de
:
Integração por partes com
,
leva a
Portanto
Passo 6
Montamos a série de Fourier completa como
Resposta
com
se
é par e
se
é ímpar, e
.
O esboço em três períodos repete o segmento linear em e o zero em
.
O esboço em três períodos repete o segmento linear em