Nos problemas de 1 a 6 :
(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.
(b) Encontre a série de Fourier da função dada.
Para cada função a seguir, determine a série de Fourier correspondente:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & -\pi \leq x<0, \\\ 0, & 0 \leq x<\pi ;\end{array} \quad f(x+2 \pi)=f(x)\right.

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período 2\pi\) \[f(x)= \begin{cases} x, & -\pi \le x<0,\\\\ 0, & 0\le x<\pi, \end{cases}
e pede:
(a) esboçar três períodos de f(x)\], (b) encontrar a série de Fourier de \(f(x).
Para isso, vamos usar as fórmulas clássicas de coeficientes de Fourier para funções de período 2\pi:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x, \quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,\mathrm{d}x.

Passo 2

Para esboçar três períodos basta notar que em cada intervalo de comprimento 2\pi temos:
  • De -\pi até 0, a função cresce linearmente de -\pi até 0.
  • De 0 até \pi, a função vale sempre 0.
    Em seguida repetimos esse padrão para [\,\pi,3\pi\,) e para [-3\pi,-\pi\,).

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^{0}x\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{\pi}0\,\mathrm{d}x\Bigr) =\frac{1}{\pi}\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{-\pi}^{0} =\frac{-\pi^2/2}{\pi} =-\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Cálculo de a_n:
a_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}x\cos(nx)\,\mathrm{d}x.
Fazendo integração por partes com u=x, dv=\cos(nx)\,dx
\int_{-\pi}^{0}x\cos(nx)\,dx =\Bigl[\frac{x\sin(nx)}{n}\Bigr]_{-\pi}^{0} -\frac{1}{n}\int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx =\frac{1}{n^2}\bigl(1-\cos(n\pi)\bigr).
Logo
a_n =\frac{1}{\pi}\frac{1-(-1)^n}{n^2},
que é zero se n é par e igual a \tfrac{2}{\pi n^2} se n é ímpar.

Passo 5

Cálculo de b_n:
b_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}x\sin(nx)\,dx.
Integração por partes com u=x, dv=\sin(nx)\,dx leva a
\int_{-\pi}^{0}x\sin(nx)\,dx =\Bigl[-\frac{x\cos(nx)}{n}\Bigr]_{-\pi}^{0} +\frac{1}{n}\int_{-\pi}^{0}\cos(nx)\,dx =\frac{\pi(-1)^n}{n}.
Portanto
b_n=\frac{1}{\pi}\,\frac{\pi(-1)^n}{n} =\frac{(-1)^n}{n}.

Passo 6

Montamos a série de Fourier completa como
f(x)\sim\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Bigr) =-\frac{\pi}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl( \frac{1-(-1)^n}{\pi n^2}\cos(nx) +\frac{(-1)^n}{n}\sin(nx) \Bigr).

Resposta

f(x) =-\frac{\pi}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl( \frac{1-(-1)^n}{\pi n^2}\cos(nx) +\frac{(-1)^n}{n}\sin(nx) \Bigr),
com a_n=0 se n é par e a_n=\tfrac{2}{\pi n^2} se n é ímpar, e b_n=\tfrac{(-1)^n}{n}.
O esboço em três períodos repete o segmento linear em [-\,\pi,0] e o zero em [0,\pi].

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