Calcule.
\int \frac{2}{x+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{2}{x+3}\,dx.
Este é um caso clássico de integral de função do tipo \frac{1}{x+a}, que sabemos que leva a um logaritmo. Podemos usar substituição para deixar isso claro.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = x + 3.
Então
du = dx
e o integrando \frac{2}{x+3}\,dx fica \frac{2}{u}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{2}{x+3}\,dx = 2 \int \frac{1}{u}\,du.
Agora usamos que
\int \frac{1}{u}\,du = \ln\bigl|u\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Portanto
2 \int \frac{1}{u}\,du = 2\,\ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando à variável x, temos u = x+3, logo

Resposta

2\,\ln\bigl|x+3\bigr| + C.

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