Calcule.
\int \frac{5}{4 x+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{5}{4x+3}\,dx
Esse é um caso típico de função da forma \frac{1}{ax+b}, que resolvemos por substituição linear.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4x + 3.
Diferenciando ambos os lados:
du = 4\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Substituindo em \int \frac{5}{4x+3}\,dx, obtemos
5\int \frac{1}{u}\,\frac{du}{4} = \frac{5}{4}\int \frac{du}{u}.

Passo 4

Sabemos que
\int \frac{du}{u} = \ln\bigl|u\bigr| + C.
Portanto
\frac{5}{4}\int \frac{du}{u} = \frac{5}{4}\ln\bigl|u\bigr| + C = \frac{5}{4}\ln\bigl|4x+3\bigr| + C.

Resposta

\frac{5}{4}\ln\bigl|4x+3\bigr| + C

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