Nos problemas de 1 a 6 ,escreva cada funģĩo em termos de funçōes degrau unitário. Encontre a T Laplace da função dada:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo aqui é reescrever essa função usando funções degrau unitário (também conhecidas como funções de Heaviside) e, em seguida, encontrar a Transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar entender como as funções de Heaviside funcionam e como aplicá-las para representar funções por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função degrau unitário, ou função de Heaviside, que a gente denota por $ u(t) $. Ela é definida assim:
Essa função é muito útil para “ligar” ou “desligar” partes de uma função em determinados pontos.
Passo 3
Agora, olhando para a nossa função $ f(t) $, vemos que ela é $ \sin(t) $ de $ 0 $ até $ 2\pi $, e zero depois disso. Para escrever isso usando funções de Heaviside, a gente precisa representar a “ligação” e o “desligamento” da função $ \sin(t) $.
A forma geral para uma função que começa em $ a $ e termina em $ b $ é:
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 2\pi $.
Passo 4
Vamos aplicar esses valores na expressão:
Como $ u(t - 0) = u(t) $, podemos simplificar para:
Passo 5
Agora que temos $ f(t) $ escrita em termos de funções de Heaviside, vamos calcular sua Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, usando a propriedade da linearidade e o fato de que temos duas funções de Heaviside, podemos separar a transformação em duas partes.
Passo 6
Vamos aplicar a Transformada de Laplace na expressão de $ f(t) $:
Sabemos que:
E usando a propriedade de deslocamento no tempo:
Onde $ F(s) $ é a Transformada de Laplace de $ f(t) $.
Passo 7
Aplicando essas propriedades:
Fatorando $ \frac{1}{s^2 + 1} $:
Resposta
A Transformada de Laplace da função dada é: