Nos problemas de 1 a 6 ,escreva cada funģĩo em termos de funçōes degrau unitário. Encontre a T Laplace da função dada:
f(t)=l sen , 0 <= t<2 pi 0, t >= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
f(t) = sin(t), & 0 <= t < 2pi 0, & t >= 2pi
O objetivo aqui é reescrever essa função usando funções degrau unitário (também conhecidas como funções de Heaviside) e, em seguida, encontrar a Transformada de Laplace dessa função. Para isso, vamos precisar entender como as funções de Heaviside funcionam e como aplicá-las para representar funções por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função degrau unitário, ou função de Heaviside, que a gente denota por $ u(t) $. Ela é definida assim:
u(t)
Essa função é muito útil para “ligar” ou “desligar” partes de uma função em determinados pontos.

Passo 3

Agora, olhando para a nossa função $ f(t) $, vemos que ela é $ \sin(t) $ de $ 0 $ até $ 2\pi $, e zero depois disso. Para escrever isso usando funções de Heaviside, a gente precisa representar a “ligação” e o “desligamento” da função $ \sin(t) $.
A forma geral para uma função que começa em $ a $ e termina em $ b $ é:
f(t)
No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 2\pi $.

Passo 4

Vamos aplicar esses valores na expressão:
f(t) = sin(t) cdot [ u(t - 0) - u(t - 2pi) ]
Como $ u(t - 0) = u(t) $, podemos simplificar para:
u(t - 0) = u(t)

Passo 5

Agora que temos $ f(t) $ escrita em termos de funções de Heaviside, vamos calcular sua Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
No nosso caso, usando a propriedade da linearidade e o fato de que temos duas funções de Heaviside, podemos separar a transformação em duas partes.

Passo 6

Vamos aplicar a Transformada de Laplace na expressão de $ f(t) $:
f(t)
Sabemos que:
Lf(t) = L sin(t) cdot u(t) - L sin(t) cdot u(t - 2pi)
E usando a propriedade de deslocamento no tempo:
Lsin(t) = 1s^2 + 1
Onde $ F(s) $ é a Transformada de Laplace de $ f(t) $.

Passo 7

Aplicando essas propriedades:
Lf(t) = 1s^2 + 1 - e^-2pi s cdot 1s^2 + 1
Fatorando $ \frac{1}{s^2 + 1} $:
1s^2 + 1

Resposta

A Transformada de Laplace da função dada é:
Lf(t) = 1 - e^-2pi ss^2 + 1

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