Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas inicialmente apenas uma pessoa seja portador de um vírus e que a taxa com que o vírus se espalha na comunidade seja proporcional tanto ao número de pessoas infectadas como também ao número de pessoas não infectadas. Se for observado que, após 4 semanas, 5 pessoas estão infectadas, determine o número de pessoas infectadas em função do tempo. Faça um esboço do gráfico da solução.

Passo 1

O enunciado diz que temos 100 pessoas, uma infectada inicialmente e que a taxa de contágio é proporcional tanto ao número de infectados quanto ao de não infectados. O conteúdo aqui é a equação logística, e vamos precisar separar variáveis, usar frações parciais e aplicar condições iniciais e uma condição extra em t=4 para determinar a constante de taxa.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial logística:
dIdt = k,I,(100 - I)
Onde I(t) é o número de infectados no tempo t e k é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Separamos variáveis:
dII(100 - I) = k,dt
Para integrar, usamos frações parciais. Observamos que
1I(100-I) = 1100l(1I + 1100-Ir)

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dII(100 - I) = integral k,dt
Vira
1100l(ln|I| - ln|100 - I|r) = k,t + C
Multiplicando por 100 e reorganizando:
lnI100-I = 100,k,t + C'

Passo 5

Exponentiando chegamos a
I100 - I = A,e^100kt
Onde A = e^C'. Resolvendo para I:
I(t) = 100A,e^100kt1 + A,e^100kt = 1001 + B,e^-100kt,
com B = 1/A.

Passo 6

Usamos a condição inicial I(0)=1:
1 = 1001 + B implies B = 99
Logo
I(t) = 1001 + 99,e^-100kt

Passo 7

Agora aplicamos I(4)=5:
5 = 1001 + 99,e^-400k implies 1 + 99,e^-400k = 20 implies e^-400k = 1999
Tomando logaritmo:
-400k = ln1999 implies k = -1400ln1999 = 1400ln9919

Passo 8

Substituindo k na solução temos a forma explícita. Podemos notar que
100k = 100400ln9919 = 14ln9919 approx 0,4125
Então a solução final é
I(t) = 1001 + 99,e^-0,4125,t

Passo 9

O gráfico dessa solução é uma curva em S (logística) que parte de I(0)=1, passa por I(4)=5, cresce de forma quase exponencial no meio e tende assintoticamente a 100 infectados quando ttoinfty.

Resposta

I(t)= 1001+99,e^-0.4125,t

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