Suponha que em uma comunidade de 100 pessoas inicialmente apenas uma pessoa seja portador de um vírus e que a taxa com que o vírus se espalha na comunidade seja proporcional tanto ao número de pessoas infectadas como também ao número de pessoas não infectadas. Se for observado que, após 4 semanas, 5 pessoas estão infectadas, determine o número de pessoas infectadas em função do tempo. Faça um esboço do gráfico da solução.
Passo 1
O enunciado diz que temos 100 pessoas, uma infectada inicialmente e que a taxa de contágio é proporcional tanto ao número de infectados quanto ao de não infectados. O conteúdo aqui é a equação logística, e vamos precisar separar variáveis, usar frações parciais e aplicar condições iniciais e uma condição extra em t=4 para determinar a constante de taxa.
Passo 2
Escrevemos a equação diferencial logística:
Onde
é o número de infectados no tempo
e
é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Separamos variáveis:
Para integrar, usamos frações parciais. Observamos que
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Vira
Multiplicando por 100 e reorganizando:
Passo 5
Exponentiando chegamos a
Onde
. Resolvendo para
:
com
.
Passo 6
Usamos a condição inicial
:
Logo
Passo 7
Agora aplicamos
:
Tomando logaritmo:
Passo 8
Substituindo
na solução temos a forma explícita. Podemos notar que
Então a solução final é
Passo 9
O gráfico dessa solução é uma curva em S (logística) que parte de
, passa por
, cresce de forma quase exponencial no meio e tende assintoticamente a 100 infectados quando
.