Se 2 x y-3 x-4 y=3 e d yd t=4, ache d xd t quando x=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem a equação 2xy - 3x - 4y = 3 e sabemos que dydt = 4. Queremos descobrir qual é dxdt quando x = 5. Vamos usar o conceito de derivadas implícitas para achar essa taxa de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos trabalhando com uma função implícita, onde x e y estão relacionados pela equação dada. Para encontrar dxdt, precisamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo t.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação 2xy - 3x - 4y = 3 com relação a t:
  • Derivada de 2xy: Aqui usamos a regra do produto, que diz que ddt(uv) = u dvdt + v dudt. Então:
    ddt(2xy) = 2 ( x dydt + y dxdt )
  • Derivada de -3x: Simplesmente -3 dxdt.
  • Derivada de -4y: É -4 dydt.
  • Derivada de 3: Como é uma constante, a derivada é 0.
Então, a derivada total fica:
2 ( x dydt + y dxdt ) - 3 dxdt - 4 dydt = 0

Passo 4

Agora, vamos substituir o valor de dydt que é 4 na equação:
2 ( x cdot 4 + y dxdt ) - 3 dxdt - 4 cdot 4 = 0
Simplificando:
2(4x + y dxdt) - 3 dxdt - 16 = 0
8x + 2y dxdt - 3 dxdt - 16 = 0

Passo 5

Queremos encontrar dxdt quando x = 5. Para isso, precisamos descobrir o valor de y correspondente a x = 5. Vamos substituir x = 5 na equação original para encontrar y.
Substituindo na equação 2xy - 3x - 4y = 3:
2 cdot 5 cdot y - 3 cdot 5 - 4y = 3
10y - 15 - 4y = 3
6y - 15 = 3
6y = 18
y = 3

Passo 6

Agora que sabemos que x = 5 e y = 3, vamos substituir esses valores na equação que obtivemos após derivar:
8x + 2y dxdt - 3 dxdt - 16 = 0
Substituindo:
8 cdot 5 + 2 cdot 3 cdot dxdt - 3 dxdt - 16 = 0
40 + 6 dxdt - 3 dxdt - 16 = 0
24 + 3 dxdt = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver para dxdt:
3 dxdt = -24
dxdt = -8

Resposta

Quando x = 5, a taxa de variação dxdt é -8.

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