Verifique se cada integral é convergente ou divergente. Se for convergente, então calcule a integral.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral definida:
. O objetivo é verificar se essa integral é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular o valor dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e o teste de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral é convergente se ela tem um valor finito, ou seja, dá para calcular um número real para ela. Já uma integral é divergente se não tem um valor finito, ou seja, tende ao infinito ou não existe.
Passo 3
Nossa integral é
. Observando o intervalo de integração, de
a
, percebemos que no limite inferior
, a expressão
se torna
, o que pode causar problemas na integral, já que estamos dividindo por
. Vamos verificar se essa é uma descontinuidade que afeta a convergência da integral.
Passo 4
A função que estamos integrando é
. Vamos simplificar a expressão de
:
Agora, identificamos que o denominador se anula quando
→
, que é o limite inferior da nossa integral. Portanto, temos uma singularidade no ponto
, o que significa que nossa integral é imprópria.
Passo 5
Para verificar a convergência dessa integral imprópria, vamos calcular o limite quando
se aproxima de
pelo lado direito, ou seja,
. Reescrevemos a integral como:
Passo 6
Vamos calcular a antiderivada de
. Usando a regra de potências para integração:
Aqui,
, então:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração:
Simplificando:
Passo 8
Vamos analisar o limite quando
:
Portanto:
Resposta
A integral
é convergente e seu valor é
.