Verifique se cada integral é convergente ou divergente. Se for convergente, então calcule a integral.
integral-1^0 1raiz[3]x+1 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral definida: integral-1^0 1raiz[3]x+1 , dx. O objetivo é verificar se essa integral é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular o valor dela. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e o teste de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral ser convergente ou divergente. Uma integral é convergente se ela tem um valor finito, ou seja, dá para calcular um número real para ela. Já uma integral é divergente se não tem um valor finito, ou seja, tende ao infinito ou não existe.

Passo 3

Nossa integral é integral-1^0 1raiz[3]x+1 , dx. Observando o intervalo de integração, de -1 a 0, percebemos que no limite inferior x = -1, a expressão x + 1 se torna 0, o que pode causar problemas na integral, já que estamos dividindo por raiz[3]0. Vamos verificar se essa é uma descontinuidade que afeta a convergência da integral.

Passo 4

A função que estamos integrando é f(x) = 1raiz[3]x+1. Vamos simplificar a expressão de f(x):
f(x) = 1raiz[3]x+1 = (x + 1)^-13
Agora, identificamos que o denominador se anula quando x + 1 = 0 x = -1, que é o limite inferior da nossa integral. Portanto, temos uma singularidade no ponto x = -1, o que significa que nossa integral é imprópria.

Passo 5

Para verificar a convergência dessa integral imprópria, vamos calcular o limite quando x se aproxima de -1 pelo lado direito, ou seja, x to -1^+. Reescrevemos a integral como:
integral-1^0 1raiz[3]x+1 , dx = lima to -1^+ integrala^0 (x + 1)^-13 , dx

Passo 6

Vamos calcular a antiderivada de f(x) = (x + 1)^-13. Usando a regra de potências para integração:
integral (x + 1)^n , dx = (x + 1)^n+1n+1 + C, onde n neq -1
Aqui, n = -13, então:
integral (x + 1)^-13 , dx = (x + 1)^-13 + 1-13 + 1 + C = (x + 1)^2323 + C = 32(x + 1)^23 + C

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração:
lima to -1^+ [ 32(x + 1)^23 ]a^0 = lima to -1^+ [ 32(0 + 1)^23 - 32(a + 1)^23 ]
Simplificando:
= lima to -1^+ [ 32(1)^23 - 32(a + 1)^23 ] = lima to -1^+ [ 32 - 32(a + 1)^23 ]

Passo 8

Vamos analisar o limite quando a to -1^+:
(a + 1) to 0^+ implies (a + 1)^23 to 0
Portanto:
32 - 32(0) = 32

Resposta

A integral integral-1^0 1raiz[3]x+1 , dx é convergente e seu valor é 32.

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