Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de
apenas ou de
apenas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar que tipo de equação diferencial temos aqui: se é separável, linear, exata ou se precisa de um fator integrante que dependa só de
ou só de
. Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, então vamos precisar usar alguns conceitos básicos dessas categorias para classificar a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial na forma $ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, se $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Como
(ambas são iguais a 1), a equação é exata! Isso significa que podemos encontrar uma função potencial $ \Psi(x, y) $ tal que:
Mas como o exercício pede só para identificar o tipo da equação, não precisamos resolver completamente.
Resposta
A equação diferencial é exata.