Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de (2 x+y) d x+(x-2 y) d y=0 apenas ou de apenas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar que tipo de equação diferencial temos aqui: se é separável, linear, exata ou se precisa de um fator integrante que dependa só de x ou só de y. Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem, então vamos precisar usar alguns conceitos básicos dessas categorias para classificar a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação exata. Uma equação diferencial na forma $ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 em relação a M for igual à derivada parcial de y em relação a N. Ou seja, se $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $.

Passo 3

Vamos identificar M e N na nossa equação:
M(x, y) = 2x + y
N(x, y) = x - 2y
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1
partial Npartial x = 1

Passo 4

Como partial Mpartial y = partial Npartial x (ambas são iguais a 1), a equação é exata! Isso significa que podemos encontrar uma função potencial $ \Psi(x, y) $ tal que:
Psi(x, y)
Mas como o exercício pede só para identificar o tipo da equação, não precisamos resolver completamente.

Resposta

A equação diferencial é exata.

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