Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de
apenas ou de
apenas.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. O enunciado é:
Vamos precisar entender se essa equação é separável, linear, exata ou se tem um fator integrante que é uma função de
ou de
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, vamos ver se ela é linear. Uma equação linear tem a forma:
Vamos rearranjar a nossa equação para a forma
:
Como temos um termo
, que é não linear, a equação não é linear.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos reescrevê-la como
.
Nossa equação está na forma:
Tentando separar as variáveis, não conseguimos isolar exclusivamente funções de
e
de cada lado. Portanto, a equação não é separável.
Passo 5
Por fim, vamos checar se existe um fator integrante que seja função de
ou de
. O fator integrante ajuda a tornar a equação exata multiplicando-a por uma função adequada.
Para verificar se existe um fator integrante que é função de
ou de
, usamos a seguinte relação:
Calculando:
Essa expressão depende tanto de
quanto de
, então não é função apenas de
.
Da mesma forma:
Também depende de
e
, então não é função apenas de
.
Portanto, não existe um fator integrante que seja função de apenas
ou de apenas
.
Resposta
A equação não é separável, nem linear, nem exata, e não possui um fator integrante que seja uma função de apenas
ou de apenas
.