Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de apenas ou de apenas.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. O enunciado é:
(y^2+2 x y) dx - x^2 dy = 0
Vamos precisar entender se essa equação é separável, linear, exata ou se tem um fator integrante que é uma função de x ou de y.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x.
Aqui, temos:
M(x,y) = y^2 + 2xy N(x,y) = -x^2
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2y + 2x partial Npartial x = -2x
Como 2y + 2x neq -2x, a equação não é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, vamos ver se ela é linear. Uma equação linear tem a forma:
dydx + P(x)y = Q(x)
Vamos rearranjar a nossa equação para a forma dydx = dots:
(y^2 + 2xy)dx - x^2dy = 0 Rightarrow dydx = y^2 + 2xyx^2
Como temos um termo y^2, que é não linear, a equação não é linear.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos reescrevê-la como f(y)dy = g(x)dx.
Nossa equação está na forma:
dydx = y^2 + 2xyx^2
Tentando separar as variáveis, não conseguimos isolar exclusivamente funções de x e y de cada lado. Portanto, a equação não é separável.

Passo 5

Por fim, vamos checar se existe um fator integrante que seja função de x ou de y. O fator integrante ajuda a tornar a equação exata multiplicando-a por uma função adequada.
Para verificar se existe um fator integrante que é função de x ou de y, usamos a seguinte relação:
partial Mpartial y - partial Npartial xN ou partial Npartial x - partial Mpartial yM
Calculando:
2y + 2x - (-2x)-x^2 = 2y + 4x-x^2 = -2y + 4xx^2
Essa expressão depende tanto de x quanto de y, então não é função apenas de x.
Da mesma forma:
-2x - (2y + 2x)y^2 + 2xy = -4x - 2yy^2 + 2xy
Também depende de x e y, então não é função apenas de y.
Portanto, não existe um fator integrante que seja função de apenas x ou de apenas y.

Resposta

A equação não é separável, nem linear, nem exata, e não possui um fator integrante que seja uma função de apenas x ou de apenas y.

Exercícios relacionados