Resolva as equações e inequações.
|x-2|+|x-1|>1

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a inequação $ |x-2| + |x-2| > 1$. O conteúdo aqui é valores absolutos, e vamos usar a definição piecewise para reescrever cada módulo sem as barras, analisando intervalos onde os argumentos mudam de sinal.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos onde os módulos se anulam, ou seja, x=1 e x=2. Esses valores dividem o domínio real em três intervalos: x<1, 1<= x<=2 e x>2.

Passo 3

No intervalo x<1 temos x-2<0 e x-1<0. Então
|x-2| + |x-1| = (2-x) + (1-x) = 3 - 2x
A inequação fica
3 - 2x > 1 implies -2x > -2 implies x < 1Como já estávamos em x<1, toda essa região satisfaz a inequação.

Passo 4

No intervalo 1<= x<=2 temos x-1>=0 e x-2<0. Então
|x-2| + |x-1| = (2-x) + (x-1) = 1
A inequação fica
1 > 1,
que é falsa. Logo, não há solução em [1,2].

Passo 5

No intervalo x>2 temos x-1>=0 e x-2>=0. Então
|x-2| + |x-1| = (x-2) + (x-1) = 2x - 3
A inequação fica
2x - 3 > 1 implies 2x > 4 implies x > 2Como já estamos em x>2, toda essa região satisfaz a inequação.

Passo 6

Concluindo, a solução é a união dos intervalos obtidos em que a desigualdade vale: x<1 e x>2.

Resposta

(-\infty,1) \cup (2,\infty)

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