Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de
apenas ou de
apenas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para identificar que tipo de equação diferencial temos aqui. O conteúdo envolve equações diferenciais, e para resolver, vamos precisar saber sobre equações separáveis, lineares, exatas e fatores integrantes que dependem só de $ x $ ou só de $ y $. A equação que temos é:
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma $ M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 $ é exata se
.
Aqui, $ M = x^{2} \operatorname{sen} x + 4 y $ e $ N = x $.
Calculando as derivadas parciais:
Como $ 4 \neq 1 $, a equação não é exata.
Passo 3
Agora, vamos ver se ela é linear. Uma equação diferencial linear tem a forma $ \frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) $.
Vamos reorganizar a equação original para isolarmos $ \frac{dy}{dx} $:
Está na forma linear, onde $ P(x) = \frac{4}{x} $ e $ Q(x) = -x \operatorname{sen} x $. Então, a equação é linear.
Passo 4
Para confirmar, podemos verificar se há um fator integrante que depende só de $ x $ ou só de $ y $. Já que a equação é linear, o método do fator integrante é apropriado. O fator integrante $ \mu(x) $ para uma equação linear é dado por:
Multiplicando a equação original pelo fator integrante:
Isso confirma que a equação é linear com um fator integrante que depende somente de $ x $.
Resposta
A equação dada é uma equação diferencial linear e possui um fator integrante que é uma função de $ x $ apenas, especificamente $ \mu(x) = x^{4} $.