Nos problemas 1-6, identifique a equação como separável, linear, exata ou tendo um fator integrante que é uma função de apenas ou de apenas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para identificar que tipo de equação diferencial temos aqui. O conteúdo envolve equações diferenciais, e para resolver, vamos precisar saber sobre equações separáveis, lineares, exatas e fatores integrantes que dependem só de $ x $ ou só de $ y $. A equação que temos é:
x

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma $ M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 $ é exata se M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 .
Aqui, $ M = x^{2} \operatorname{sen} x + 4 y $ e $ N = x $.
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partial Npartial x
M = x^2 sen x + 4 y
Como $ 4 \neq 1 $, a equação não é exata.

Passo 3

Agora, vamos ver se ela é linear. Uma equação diferencial linear tem a forma $ \frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) $.
Vamos reorganizar a equação original para isolarmos $ \frac{dy}{dx} $:
dydx + P(x) y = Q(x)
dydx
(x^2 sen x + 4 y) dx + x dy = 0
x dy = -(x^2 sen x + 4 y) dx
Está na forma linear, onde $ P(x) = \frac{4}{x} $ e $ Q(x) = -x \operatorname{sen} x $. Então, a equação é linear.

Passo 4

Para confirmar, podemos verificar se há um fator integrante que depende só de $ x $ ou só de $ y $. Já que a equação é linear, o método do fator integrante é apropriado. O fator integrante $ \mu(x) $ para uma equação linear é dado por:
x
Multiplicando a equação original pelo fator integrante:
y
Isso confirma que a equação é linear com um fator integrante que depende somente de $ x $.

Resposta

A equação dada é uma equação diferencial linear e possui um fator integrante que é uma função de $ x $ apenas, especificamente $ \mu(x) = x^{4} $.

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