Problemas Introdutórios
Uma partícula se deslocando ao longo de uma curva plana tem um vetor posição
, uma velocidade
, e uma aceleração a. Os vetores unitários nas direções
e
são
e
, respectivamente, e ambos
e
estão variando com o tempo. Explique porque cada uma das seguintes afirmações está corretamente marcada como uma desigualdade.
Uma partícula se deslocando ao longo de uma curva plana tem um vetor posição
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma partícula se movimentando ao longo de uma curva plana, com vetores posição
, velocidade
e aceleração
. As direções
e
têm vetores unitários
e
, respectivamente, e ambos
e
mudam com o tempo. A questão pede para explicar por que cada uma das afirmações na tabela está corretamente marcada como uma desigualdade. Para isso, vamos precisar entender bem os conceitos de vetores posição, velocidade e aceleração em coordenadas polares, além de saber como derivar esses vetores em relação ao tempo.
Passo 2
Vamos começar pela primeira coluna da tabela:
Aqui,
representa a derivada do vetor posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade vetorial
. Já
é a velocidade escalar, que é o módulo da velocidade vetorial. Então,
é um vetor, enquanto
é um número. Eles não podem ser iguais porque são tipos de grandezas diferentes. Portanto, a afirmação
está correta.
Passo 3
Agora, ainda na primeira coluna:
Aqui,
é a derivada da coordenada radial
em relação ao tempo, ou seja, a taxa de variação de
. Já
é a velocidade escalar, que leva em conta todas as componentes da velocidade. Em coordenadas polares, a velocidade escalar é dada por
. Como
inclui uma parte que depende de
, a menos que a partícula esteja se movendo apenas radialmente (
),
e
não são iguais. Portanto,
está correto.
Passo 4
Ainda na primeira coluna:
Aqui,
é a taxa de variação da coordenada radial, um número, enquanto
é o vetor velocidade. Mais uma vez, estamos comparando uma quantidade escalar com uma vetorial, que são tipos diferentes de grandezas. Além disso, mesmo que considerássemos componentes,
inclui tanto a componente radial quanto a angular. Logo,
está certo.
Passo 5
Passando para a segunda coluna:
Passo 6
Ainda na segunda coluna:
Aqui,
é a segunda derivada da coordenada radial, ou seja, a aceleração radial. Já
é a aceleração total, que inclui tanto a aceleração radial quanto a aceleração tangencial. Em coordenadas polares, temos
. Como
considera todas as direções, a menos que a movimentação seja puramente radial,
. Então, essa desigualdade está correta.
Passo 7
Ainda na segunda coluna:
Novamente,
é a aceleração vetorial completa, que inclui componentes radiais e angulares. Já
considera apenas a parte radial da aceleração. Portanto, a aceleração total
não é igual a apenas a parte radial
. A desigualdade está correta.
Passo 8
Passando para a terceira coluna:
Passo 9
Ainda na terceira coluna:
Aqui,
é o vetor velocidade completo, incluindo a componente radial e a tangencial. Já
representa apenas a parte tangencial da velocidade. Como
inclui também a componente radial
, elas não são iguais a menos que
. Portanto, essa desigualdade está correta.
Passo 10
Ainda na terceira coluna:
Esta é uma repetição do que vimos antes.
é a aceleração radial, enquanto
é a aceleração total que inclui outras componentes. Portanto,
não é igual à aceleração total. A desigualdade está correta.
Resposta
Cada uma das afirmações na tabela está marcada corretamente como uma desigualdade porque elas comparam grandezas diferentes ou partes específicas das grandezas vetoriais completa (como velocidade e aceleração) que não são iguais em geral. Em coordenadas polares, tanto a velocidade quanto a aceleração têm componentes radiais e angulares, o que faz com que os termos isolados não sejam iguais aos vetores completos. Portanto, todas as desigualdades apresentadas estão corretas.