Problemas Introdutórios
Uma partícula se deslocando ao longo de uma curva plana tem um vetor posição r, uma velocidade v, e uma aceleração a. Os vetores unitários nas direções r e theta são er e etheta, respectivamente, e ambos r e theta estão variando com o tempo. Explique porque cada uma das seguintes afirmações está corretamente marcada como uma desigualdade.
dotr neq v ddotr neq a dotr neq dotr er
dotr neq v ddotr neq a ddotr neq ddotr er
dotr neq v ddotr neq a dotr neq r dottheta etheta

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma partícula se movimentando ao longo de uma curva plana, com vetores posição r, velocidade v e aceleração a. As direções r e theta têm vetores unitários er e etheta, respectivamente, e ambos r e theta mudam com o tempo. A questão pede para explicar por que cada uma das afirmações na tabela está corretamente marcada como uma desigualdade. Para isso, vamos precisar entender bem os conceitos de vetores posição, velocidade e aceleração em coordenadas polares, além de saber como derivar esses vetores em relação ao tempo.

Passo 2

Vamos começar pela primeira coluna da tabela:
dotr neq v
Aqui, dotr representa a derivada do vetor posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade vetorial v. Já v é a velocidade escalar, que é o módulo da velocidade vetorial. Então, dotr é um vetor, enquanto v é um número. Eles não podem ser iguais porque são tipos de grandezas diferentes. Portanto, a afirmação dotr neq v está correta.

Passo 3

Agora, ainda na primeira coluna:
dotr neq v
Aqui, dotr é a derivada da coordenada radial r em relação ao tempo, ou seja, a taxa de variação de r. Já v é a velocidade escalar, que leva em conta todas as componentes da velocidade. Em coordenadas polares, a velocidade escalar é dada por v = raizdotr^2 + (rdottheta)^2. Como v inclui uma parte que depende de dottheta, a menos que a partícula esteja se movendo apenas radialmente ( dottheta = 0), dotr e v não são iguais. Portanto, dotr neq v está correto.

Passo 4

Ainda na primeira coluna:
dotr neq v
Aqui, dotr é a taxa de variação da coordenada radial, um número, enquanto v é o vetor velocidade. Mais uma vez, estamos comparando uma quantidade escalar com uma vetorial, que são tipos diferentes de grandezas. Além disso, mesmo que considerássemos componentes, v inclui tanto a componente radial quanto a angular. Logo, dotr neq v está certo.

Passo 5

Passando para a segunda coluna:
ddotr neq a
ddotr representa a segunda derivada do vetor posição em relação ao tempo, que é a aceleração vetorial a. Parece que estão iguais, mas na verdade, a notação pode confundir. Se interpretarmos ddotr como um vetor diferente de a, eles não seriam iguais. Contudo, normalmente ddotr = a. Portanto, essa afirmação pode depender do contexto. Se assumirmos que ddotr é a aceleração vetorial, então ddotr = a, e a desigualdade estaria errada. Talvez haja um erro na formulação da questão.

Passo 6

Ainda na segunda coluna:
ddotr neq a
Aqui, ddotr é a segunda derivada da coordenada radial, ou seja, a aceleração radial. Já a é a aceleração total, que inclui tanto a aceleração radial quanto a aceleração tangencial. Em coordenadas polares, temos a = (ddotr - rdottheta^2)er + (rddottheta + 2dotrdottheta)etheta. Como a considera todas as direções, a menos que a movimentação seja puramente radial, ddotr neq a. Então, essa desigualdade está correta.

Passo 7

Ainda na segunda coluna:
ddotr neq ddotr er
Novamente, ddotr é a aceleração vetorial completa, que inclui componentes radiais e angulares. Já ddotr er considera apenas a parte radial da aceleração. Portanto, a aceleração total ddotr não é igual a apenas a parte radial ddotr er. A desigualdade está correta.

Passo 8

Passando para a terceira coluna:
dotr neq dotr er
dotr é o vetor velocidade completo, que inclui tanto a componente radial quanto a tangencial. Já dotr er considera apenas a parte radial da velocidade. Em coordenadas polares, v = dotr er + rdottheta etheta. Portanto, a velocidade total dotr não é igual a apenas a parte radial dotr er. A afirmação está correta.

Passo 9

Ainda na terceira coluna:
dotr neq r dottheta etheta
Aqui, dotr é o vetor velocidade completo, incluindo a componente radial e a tangencial. Já r dottheta etheta representa apenas a parte tangencial da velocidade. Como dotr inclui também a componente radial dotr er, elas não são iguais a menos que dotr = 0. Portanto, essa desigualdade está correta.

Passo 10

Ainda na terceira coluna:
ddotr neq a
Esta é uma repetição do que vimos antes. ddotr é a aceleração radial, enquanto a é a aceleração total que inclui outras componentes. Portanto, ddotr não é igual à aceleração total. A desigualdade está correta.

Resposta

Cada uma das afirmações na tabela está marcada corretamente como uma desigualdade porque elas comparam grandezas diferentes ou partes específicas das grandezas vetoriais completa (como velocidade e aceleração) que não são iguais em geral. Em coordenadas polares, tanto a velocidade quanto a aceleração têm componentes radiais e angulares, o que faz com que os termos isolados não sejam iguais aos vetores completos. Portanto, todas as desigualdades apresentadas estão corretas.

Exercícios relacionados