Nos Problemas 3-6, y=1 /\left(x^{2}+c\right) é uma família de soluções de um parâmetro da ED de primeira ordem y^{\prime}+2 x y^{2}-0. Determine uma solução do PVI de primeira ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas. Defina o maior intervalo I sobre o qual a solução seja definida.
y(-2)=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' + 2x\,y^{2} = 0
cuja família geral de soluções é
y = \frac{1}{x^{2} + C}\,.
Queremos a solução particular que satisfaz a condição inicial
y(-2) = \frac12
e determinar o maior intervalo I onde essa solução está definida.

Passo 2

Vamos obter a solução geral por separação de variáveis. Escrevendo
\frac{dy}{dx} = -2x\,y^{2}
separa-se em
\frac{dy}{y^{2}} = -2x\,dx.
Integrando ambos os lados,
\int y^{-2}dy = \int -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{y} = -\,x^{2} + K,
onde K é constante de integração. Rearranjando,
\frac{1}{y} = x^{2} + C,
com C = -K. Logo
y = \frac{1}{x^{2} + C}.

Passo 3

Aplicando a condição inicial \;y(-2)=\tfrac12:
\frac{1}{(-2)^{2} + C} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{4 + C} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad 4 + C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C = -2.

Passo 4

A solução particular é
y(x) = \frac{1}{x^{2} - 2}.
O denominador anula-se em x = \pm\sqrt{2}, de modo que a solução não está definida nesses pontos. Como a condição inicial ocorre em x_{0} = -2, o maior intervalo de definição que contém -2 é
I = \bigl(-\infty,\,-\sqrt{2}\bigr).

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = \frac{1}{x^{2} - 2},
definida no intervalo
I = \bigl(-\infty,\,-\sqrt{2}\bigr).

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