Nos problemas seguintes, considere as informações sobre o comportamento de f(x) e g(x) abaixo:
  • lim x c f(x)=5
  • lim x infty f(x)=-3
  • lim x c g(x)=-2
  • lim x infty g(x)=4
    Use-as para determinar os limites a seguir.
    a) lim x c 2 f(x)-3 g(x)
    b) lim x c raizf(x)+g(x)
    c) lim x c f(x)g(x)
    d) lim x c f(x) g(x)
    e) lim x c 2 f(x)-g(x)5 g(x)+2 f(x)
    f) lim x infty 2 f(x)+g(x)x+f(x)
    g) lim x infty raizg(x)

Passo 1

Resumindo: temos limxto cf(x)=5, limxtoinftyf(x)=-3, limxto cg(x)=-2 e limxtoinftyg(x)=4. O conteúdo é limites de funções e vamos usar as propriedades de soma, produto, quociente e composição com funções contínuas.

Passo 2

Para (a), aplicamos a propriedade da soma e do produto por constante: limxto c[2f(x)-3g(x)] = 2limxto cf(x) - 3limxto cg(x) = 2cdot5 - 3cdot(-2) = 16.

Passo 3

Para (b), primeiro calculamos limxto c[f(x)+g(x)] = 5 + (-2) = 3. Como a raiz quadrada é contínua em 3, temos limxto craizf(x)+g(x) = raiz3.

Passo 4

Para ©, como limxto cg(x) = -2 neq 0, usamos a propriedade do quociente: limxto cf(x)g(x) = 5-2 = -52.

Passo 5

Para (d), aplicando a propriedade do produto: limxto cf(x)g(x) = 5 cdot (-2) = -10.

Passo 6

Para (e), calculamos separadamente: limxto c[2f(x)-g(x)] = 2cdot5 - (-2) = 12 e limxto c[5g(x)+2f(x)] = 5cdot(-2) + 2cdot5 = 0. Como o numerador tende a 12 (não nulo) e o denominador a 0, o quociente diverge e não existe limite finito.

Passo 7

Para (f), no infinito temos limxtoinfty[2f(x)+g(x)] = 2cdot(-3) + 4 = -2 e limxtoinfty[x+f(x)] = infty. Logo limxtoinfty2f(x)+g(x)x+f(x) = 0.

Passo 8

Para (g), como limxtoinftyg(x) = 4 e a raiz quadrada é contínua em 4, temos limxtoinftyraizg(x) = 2.

Resposta

a) 16; b) raiz3; c) -tfrac52; d) -10; e) não existe (diverge); f) 0; g) 2

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