Em certas situações é necessário comparar os benefícios de determinada medida com o custo para executá-la. Suponha, por exemplo, que para remover
da poluição causada por um derramamento de petróleo, seja preciso gastar
milhares de reais, em que
a) Quanto custa remover
da poluição? E 50%?
b) Esboce a função custo.
c) O que acontece quando
? É possível remover toda a poluição?
b) Esboce a função custo.
c) O que acontece quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve comparar o custo de remover uma certa porcentagem da poluição causada por um derramamento de petróleo. A função que nos dá esse custo é:
Aqui, $ C(x) $ representa o custo em milhares de reais para remover $ x% $ da poluição. Vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra para resolver as partes do exercício: calcular custos específicos, esboçar a função e analisar o comportamento da função quando $ x $ se aproxima de 100%.
Passo 2
Vamos começar com a parte a), que pede para calcular quanto custa remover 25% e 50% da poluição.
Para isso, basta substituir $ x $ por 25 e depois por 50 na função $ C(x) $.
Primeiro, para $ x = 25 $:
Então, custa 4 mil reais remover 25% da poluição.
Agora, para $ x = 50 $:
Então, custa 12 mil reais remover 50% da poluição.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b), que pede para esboçar a função de custo $ C(x) $.
A função é:
Para entender como esboçar essa função, vamos analisar alguns pontos e comportamentos:
-
Intercepto com o eixo y: Quando $ x = 0 $,Então, o gráfico passa pela origem (0,0).
-
Assíntota vertical: A função tem uma assíntota vertical quando o denominador se aproxima de zero. Ou seja, quando $ 100 - x = 0 $ ou $ x = 100 $. Isso indica que o custo tende ao infinito conforme $ x $ se aproxima de 100%.
-
Comportamento para valores de $ x $ entre 0 e 100: À medida que $ x $ aumenta, $ C(x) $ também aumenta, e a taxa de aumento acelera conforme $ x $ se aproxima de 100%.
-
Alguns pontos para ajudar no esboço:
- Para $ x = 25 $, já vimos que $ C(25) = 4 $
- Para $ x = 50 $, $ C(50) = 12 $
- Para $ x = 75 $:
Com esses pontos e sabendo que há uma assíntota em $ x = 100 $, podemos desenhar uma curva que começa na origem, passa pelos pontos calculados e sobe indefinidamente conforme se aproxima de 100%.
Passo 4
Vamos finalizar com a parte c), que pergunta o que acontece quando $ x $ se aproxima de 100% e se é possível remover toda a poluição.
Matematicamente, queremos analisar o limite de $ C(x) $ quando $ x $ tende a 100 por valores menores:
Isso significa que conforme tentamos remover mais e mais da poluição, o custo aumenta sem limites à medida que nos aproximamos de remover 100%.
Conclusão: Não é possível remover toda a poluição ($ x = 100%$) porque o custo necessário para isso seria infinito, o que não é viável na prática.
Resposta
a) Remover 25% da poluição custa 4 mil reais e remover 50% custa 12 mil reais.
b) A função de custo $ C(x) = \frac{12x}{100 - x} $ é uma curva que passa pela origem, aumenta gradualmente até 50% com custo de 12 mil reais, acelera seu crescimento conforme se aproxima de 100%, e apresenta uma assíntota vertical em $ x = 100 $.
c) Quando $ x $ se aproxima de 100%, o custo $ C(x) $ tende ao infinito. Portanto, não é possível remover toda a poluição, já que o custo seria inviável.