Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem:
d u d x=x^2 e^x+u x

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação dudx=x^2e^x+ux. Isso faz parte do conteúdo de equações diferenciais lineares de primeira ordem, e a gente vai usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação no formato padrão dudx+P(x)u=Q(x). Reescrevendo, temos:
dudx=x e^x+1xu
dudx-1xu=x e^x

Passo 3

Agora calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx com P(x)=-tfrac1x:
mu(x)=e^integral(-1/x),dx=e^-ln|x|=1x

Passo 4

Multiplicando a equação pelo fator integrante mu(x)=1/x, a gente obtém:
1xdudx-1x^2u=e^x,
essa expressão é reconhecida como a derivada de u/x:
ddxl(tfracuxr)=e^x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
ux=integral e^x,dx=e^x+C

Passo 6

Por fim, isolamos u:
u(x)=xl(e^x+Cr)=x e^x+Cx

Resposta

u(x)=x e^x+Cx

Exercícios relacionados