Nos problemas seguintes determine o limite. Use um recurso computacional para fazer os gráficos das funções dadas.
lim x +infty 3 x+5x-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar o limite da função 3x + 5x - 4 quando x tende ao infinito. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente lidando com limites no infinito para funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando x fica muito grande e usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função 3x + 5x - 4. Quando x tende para +infty, os termos que mais influenciam o comportamento da função são aqueles com as maiores potências de x. No numerador, temos 3x e 5, mas 3x domina quando x é muito grande. No denominador, temos x e -4, e aqui também o x é o termo dominante.

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por x, que é a maior potência de x na função. Assim, temos:
limx to +infty 3x + 5x - 4 = limx to +infty 3xx + 5xxx - 4x = limx to +infty 3 + 5x1 - 4x

Passo 4

Agora, vamos analisar cada termo separadamente. Conforme x tende ao infinito:
  • 5x tende a 0, porque o numerador fica pequeno comparado com o denominador que cresce sem limites.
  • 4x também tende a 0 pelo mesmo motivo.
Então, simplificando:
limx to +infty 3 + 01 - 0 = 31 = 3

Resposta

O limite da função 3x + 5x - 4 quando x tende a +infty é 3.

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