Nos problemas seguintes determine o limite. Use um recurso computacional para fazer os gráficos das funções dadas.
lim x -infty x^4+x^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x -infty x^4 + x^5.
Aqui, a gente está trabalhando com limites no infinito, que é uma parte da Análise de Funções. Para resolver, vamos analisar o comportamento dos termos x^4 e x^5 quando x fica muito, muito negativo (isto é, tende a menos infinito).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos separadamente:
  • x^4: Como o expoente 4 é par, qualquer número (positivo ou negativo) elevado a ele vira positivo. Além disso, conforme x fica cada vez menor, x^4 cresce muito rapidamente para mais positivo.
  • x^5: Aqui, o expoente 5 é ímpar, então um número negativo elevado a ele continua negativo. E como é potência de grau 5, cresce rapidamente para mais negativo conforme x tende a menos infinito.

Passo 3

Agora, vamos comparar qual dos dois termos domina o comportamento da função quando x vai para menos infinito. Entre x^4 e x^5, o termo x^5 cresce em magnitude mais rápido que x^4, e como é negativo, vai puxar o valor total para menos infinito.

Passo 4

Para formalizar isso, podemos fatorar x^4:
x^4 + x^5 = x^4(1 + x)
Quando x tende a menos infinito, 1 + x também tende a menos infinito. Então, multiplicando x^4 (que é positivo e grande) por 1 + x (que é negativo e grande), o resultado final tende a menos infinito.

Resposta

lim x -infty x^4 + x^5 = -infty

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